Bài 3.9 trang 104 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow{a}$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow{0}$. Gọi α,β,γ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow{a}$→. Chứng minh rằng: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\mathrm{\beta }+{\cos }^2\mathrm{\gamma }=1$

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng véc tơ đơn vị $\overrightarrow{a_0}$ cùng hướng với vecto $\overrightarrow{a}$

- Dựng điểm$A_0$ sao cho $\overrightarrow{O{A}_0}=\overrightarrow{{\mathrm{a}}_0}$ và các điểm $A_1,{\mathrm{B}}_2,{\mathrm{C}}_3$ lần lượt là hình chiếu của $A_0$ lên các trục tọa độ.

- Tính cosα,cosβ,cosγ và suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi $\overrightarrow{a_0}$ là vecto đơn vị cùng hướng với vecto$\overrightarrow{a}$ , ta có $\overrightarrow{a_0}=\frac{1}{\left|\overrightarrow{a}\right|}\overrightarrow{a}$.

Gọi $\overrightarrow{OA{ }_0}=\overrightarrow{a_0}$ và các điểm A1, A2, A3 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của điểm A0 trên các trục Ox, Oy, Oz.

Khi đó ta có:  $$$\frac{\left|\overrightarrow{OA{ }_1}\right|}{\left|\overrightarrow{OA{ }_0}\right|}=\cos \mathrm{\alpha },\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_2}\right|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_0|}}=\cos \mathrm{\beta },\frac{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_3}\right|}{\left|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_0}\right|}=\cos \mathrm{\gamma }$

Vì  $|\overrightarrow{OA{ }_0}|=1$ nên  $|\overrightarrow{OA{ }_1}|=\cos \mathrm{\alpha },|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_2}|=\cos \mathrm{\beta },|\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_3}|=\cos \mathrm{\gamma }$

Ta có $\overrightarrow{OA{ }_0}=\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_1}+\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_2}+\overrightarrow{\mathrm{OA}{ }_3}$  , ta suy ra:  $\overrightarrow{OA{ }_0}=\cos \mathrm{\alpha }\overrightarrow{i}+\cos \mathrm{\beta }\overrightarrow{j}+\cos \mathrm{\gamma }\overrightarrow{k}$ hay  $\overrightarrow{OA{ }_0}=(\cos \mathrm{\alpha };\cos \mathrm{\beta };\cos \mathrm{\gamma })$.

Vì  $\overrightarrow{OA{ }_0}=\overrightarrow{{\mathrm{a}}_0}$  mà $|\overrightarrow{a_0}|=1$ nên ta có: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\mathrm{\beta }+{\cos }^2\mathrm{\gamma }=1$