Bài 4.3 phần bài tập bổ sung trang 163 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho đường tròn \((O ; 15cm),\) dây \(AB = 24cm.\) Một tiếp tuyến song song với \(AB\) cắt các tia \(OA,\) \(OB\) theo thứ tự ở \(E, F.\) Tính độ dài \(EF.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

+) Sử dụng định lý Ta-lét. 

Lời giải chi tiết

Gọi \(C\)  là tiếp điểm của \(EF\) với đường tròn \((O),\) \(H\) là giao điểm của \(OC\) và \(AB.\) Ta có

\(OC \bot EF\) (tính chất tiếp tuyến) và \(AB // EF\) (gt) nên \(OC \bot AB\) tại H.

Xét đường tròn (O) có \(OC \bot AB\) tại H nên H là trung điểm của AB (đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy)

Suy ra \(HB=\dfrac{AB}2 = 12 cm\) 

Xét tam giác OHB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có:

\(O{B^2} = O{H^2} + H{B^2}\)

 \(\Rightarrow O{H^2} = O{B^2} - H{B^2}\)

\( \Leftrightarrow O{H^2} = {15^2} - {12^2} = 81\)

 \( \Rightarrow OH = 9 cm.\)

Vì \(AH//EC\) nên \(\dfrac{{OH}}{{OC}} = \dfrac{{OA}}{{OE}}\) (định lý Ta-lét)

Vì \(AB//EF\) nên \(\dfrac{{AB}}{{EF}} = \dfrac{{OH}}{{OC}}\) (hệ quả định lý Ta-lét)

Suy ra \(\displaystyle {{OH} \over {OC}} = {{AB} \over {EF}}\) ,

tức là \(\displaystyle{9 \over {15}} = {{24} \over {EF}}\).

\( \Rightarrow EF = \dfrac{{24.15}}{9} = 40cm\)