Lý thuyết Chia đơn thức cho đơn thức

1. Đơn thức chia hết cho đơn thức

Với \(A\) và \(B\) là hai đơn thức, \(B ≠ 0.\) Ta nói \(A\) chia hết cho \(B\) nếu tìm được một đơn thức \(Q\) sao cho \(A = B . Q\)

Kí hiệu: \(Q = A : B = \dfrac{A}{B}\)

2. Qui tắc

Muốn chia đơn thức \(A\) cho đơn thức \(B\) (trường hợp \(A\) chia hết cho \(B\)) ta làm như sau:

- Chia hệ số của đơn thức \(A\) cho hệ số của đơn thức \(B.\)

- Chia lũy thừa của từng biến trong \(A\) cho lũy thừa của cùng biến đó trong \(B.\)

- Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

3. Các dạng toán cơ bản

Dạng 1: Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức

Phương pháp:

Sử dụng quy tắc chia đơn thức cho đơn thức để thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức.

Ví dụ: Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}
6{x^3}{y^2}z:\left( { - 3xyz} \right)\\
= \left[ {6:\left( { - 3} \right)} \right].\left( {{x^3}:x} \right).\left( {{y^2}:y} \right).\left( {z:z} \right)\\
= - 2.{x^{3 - 1}}.{y^{2 - 1}}.1\\
= - 2{x^2}y
\end{array}\)

Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức tại \(x = {x_0}\)

Phương pháp:

Thay \(x = {x_0}\) vào biểu thức rồi thực hiện phép tính.

Nếu biểu thức có nhiều biến thì ta thay lần lượt từng biến theo giả thiết.

Ví dụ: 

Tính giá trị của biểu thức \(A = 16{x^4}{y^3}:\left( { - 8{x^3}{y^2}} \right)\) biết \(x = 2;y = 5\).

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
A = 16{x^4}{y^3}:\left( { - 8{x^3}{y^2}} \right)\\
= \left( {16:\left( { - 8} \right)} \right).\left( {{x^4}:{x^3}} \right).\left( {{y^3}:{y^2}} \right)\\
= - 2.x.y
\end{array}\)

Với \(x = 2;y = 5\) ta có: \(A =  - 2.2.5 =  - 20\)

Dạng 3: Tìm \(m\) để phép tính chia cho trước là phép chia hết.

Phương pháp:

Sử dụng nhận xét: Đơn thức \(A\) chia hết cho đơn thức \(B\) khi mỗi biến của \(B\) đều là biến của \(A\) với số mũ nhỏ hơn hoặc bằng số mũ của nó trong \(A\) .

Ví dụ: Tìm \(n \in \mathbb{N}^*\) để giá trị của biểu thức \(A = 16{x^3}{y^{n + 1}}\) chia hết cho \(B = 8{x^{n + 2}}{y^2}\)

Ta có: 

Để \(A = 16{x^3}{y^{n + 1}}\) chia hết cho \(B = 8{x^{n + 2}}{y^2}\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}^*\\n + 2 \le 3\\n + 1 \ge 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}n \in \mathbb{N}^*\\n \le 1\\n \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow n = 1\)