Trả lời câu hỏi - Hoạt động 4 trang 107

1. Nội dung câu hỏi

Tính tổng $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}$.

2. Phương pháp giải

Dựa vào đề bài để tìm ra biểu thức $S_n$. Sau đó tìm giới hạn.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $u_1$ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó $u_1=\frac{1}{2}$.
Cứ tiếp tục như thế, ta được: $u_2=\frac{1}{2} u_1, u_3=\frac{1}{2} u_2, \ldots, u_n=\frac{1}{2} u_{n-1}, \ldots$
Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$ và công bội $q=\frac{1}{2}$.
Do đó, tổng của n số hạng đầu là
$
\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)}{1-\frac{1}{2}}=1-\left(\frac{1}{2}\right)^n
$

1. Nội dung câu hỏi

Tìm S $=\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n$

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính giới hạn.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $\mathrm{S}=\lim _{n \rightarrow+\infty} S_n=\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)=\lim _{n \rightarrow+\infty} 1-\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n=1-0=1$.