Chia sẻ bảng nguyên hàm đầy đủ, phương pháp tính nguyên hàm

Trong toán 12, nguyên hàm là kiến thức khó nhưng vô cùng quan trọng. Để các em làm và giải bài tập dễ dàng hơn, bài viết này Admin sẽ chia sẻ bảng nguyên hàm đầy đủ để các em học và ghi nhớ chúng. Không chỉ có vậy, Admin còn bật mí phương pháp tính nguyên hàm cực nhanh và hiệu quả. Bắt đầu chủ đề ngày hôm nay thôi nào!!!

Trước khi bỏ túi thông tin về bảng nguyên hàm, các em cần ôn lại một số kiến thức lý thuyết về nguyên hàm như: Định nghĩa, tính chất. Cụ thể như sau:

Nguyên hàm là gì?

Nguyên hàm là một hàm số thực cho trước f, khi đó F có đạo hàm là f. Hiểu đơn giản là F’ = f. Cho một hàm số f xác định trên K, nguyên hàm của hàm số f tồn tại trên K khi F(x) tồn tại trên K và F’(x) = f(x) (x ∊ K).

Để giúp các em dễ hiểu hơn về định nghĩa của nguyên hàm, ta cùng xét ví dụ cụ thể sau:

f(x) = cosx có nguyên hàm F(x) = sinx vì (sinx)’ = cosx (hay F’(x) = f(x))

Tính chất nguyên hàm

Khi xét hai hàm số liên tục f và g trên K, ta có:

- $\int[f(x)+g(x)] \cdot d x=\int f(x) \cdot d x+\int g(x) \cdot d x$

- $\int d . F(x)=F(x)+C$

- $\int[f(x) \pm g(x)] \cdot d x=\int f(x) \cdot d x \pm \int g(x) \cdot d x$

- $\int k \cdot f(x) \cdot d x=k \int f(x) \cdot d x(\forall k \neq 0)$

Ví dụ minh họa:

$\int \sin ^2 x d x=\int \frac{1-\cos 2 x}{2} d x=\frac{1}{2} \int d x-\frac{1}{2} \int \cos 2 x d x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$

Ví dụ minh họa cho tính chất của nguyên hàm

Vi phân

Để có thể giải toán tìm nguyên hàm, các em còn cần nắm được kiến thức về vi phân. Cụ thể như sau:

Giả sử y = f(x) xác định trên khoảng (a,b) với đạo hợp tại điểm x ∊ (a,b) thì vi phân của hàm số y = f(x) là:

dy = f’(x).dx

Mối quan hệ giữa đạo hàm, nguyên hàm với vi phân như sau:

∫f(x).dx = F(x) + C

⇔ F’(x) = f(x)

⇔ d.F(x) = f(x).dx

Admin đã tổng hợp và gửi đến các em bảng công thức nguyên hàm đầy đủ và chi tiết, từ các nguyên hàm cơ bản, cho đến nguyên hàm nâng cao và có cả các công thức nguyên hàm mở rộng. Chi tiết như sau:

Bảng nguyên hàm cơ bản

Bảng nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm nâng cao

Bảng nguyên hàm mở rộng

Bảng nguyên hàm mở rộng

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

Bảng công thức nguyên hàm lượng giác

Muốn giải được các bài tập về nguyên hàm không còn cách nào khác ngoài việc các em phải học thuộc và ghi nhớ bộ công thức tính nguyên hàm đã được Admin chia sẻ ở trên. Để giúp các em tính nguyên hàm nhanh và hiệu quả, Admin sẽ bật mí cho các em một số phương pháp tính cực hay. Chi tiết như sau:

Phương pháp tính nguyên hàm từng phần

Để tính nguyên hàm theo phương pháp nguyên hàm từng phần, đầu tiên các em phải nắm được định lý:

$\begin{aligned} & \int u(x) \cdot v^{\prime}(x) d x=u(x) \cdot v(x)-\int u(x) \cdot u^{\prime}(x) d x \\ & \text { Hay } \int u d v=u v-\int v d u \\ & \left.\text { Với } d u=u^{\prime}(x) d x, d v=v^{\prime}(x) d x\right)\end{aligned}$

Định lý tính nguyên hàm từng phần

Để tìm được nguyên hàm, các em sẽ xét 4 trường hợp từng phần với P(x) là một đa thức theo ẩn x.

Ví dụ minh họa: Tính nguyên hàm của hàm số ∫x.Sinx.dx

Giải:

Xét 4 trường hợp như sau:

Trường hợp 1:

$\begin{array}{r}&&\text { - Gặp } \int P(x) \cdot e^{a x+b} d x, \\ &&\text { Ta đặt }\left\{\begin{array}{l}u=P(x) \\ d v=e^{a x+b} d x\end{array}\right.\end{array}$

Trường hợp 2:

$\begin{matrix} - Gặp \int 𝑃 (𝑥) [\begin{matrix} \sin (𝑚 𝑥 + 𝑛) \\ \cos (𝑚 𝑥 + 𝑛) \end{matrix}] 𝑑 𝑥, \\ Ta đặt {\begin{matrix} 𝑢 = 𝑃 (𝑥) \\ 𝑑 𝑣 = [\begin{matrix} \sin (𝑚 𝑥 + 𝑛) \\ \cos (𝑚 𝑥 + 𝑛) \end{matrix}] 𝑑 𝑥 \end{matrix} \end{matrix}$
Trường hợp 3:

- Gặp $\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \ln ^{\mathrm{n}}(\mathrm{ax}+\mathrm{b}) \mathrm{dx}$

Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=\ln ^n(a x+b) \\ d v=f(x) d x\end{array}\right.$

Trường hợp 4:

- Gặp $\int e^{a x+b}\left[\begin{array}{c}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right] d x$,

Ta đặt $\left\{\begin{array}{l}u=e^{a x+b} \\ d v=\left[\begin{array}{l}\sin (m x+n) \\ \cos (m x+n)\end{array}\right] d x\end{array}\right.$

Phương pháp tính nguyên hàm lượng giác

Tính nguyên hàm bẳng nguyên hàm lượng giác sẽ có 4 dạng cơ bản như sau:

Dạng 1

$I=\int \frac{d x}{\sin (x+a) \sin (x+b)}$

- Phương pháp tính:

Dùng đồng nhất thức:

$I=\int \frac{\sin (a-b)}{\sin (a-b)}=\frac{\sin [(x+a)-(x+b)]}{\sin (a-b)}=\frac{\sin (x+a) \cos (x+b)-\cos (x+a) \sin (x+b)}{\sin (a-b)}$

Từ đó suy ra:

$\begin{aligned}& I=\frac{1}{\sin (a-b)} \int \frac{\sin (x+a) \cos (x+b)-\cos (x+a) \sin (x+b)}{\sin (x+a) \sin (x+b)} d x \\& \left.=\frac{1}{\sin (a-b)} \int\left[\frac{\cos (x+b)}{\sin (x+b)}\right]-\frac{\cos (x+a)}{\sin (x+a)}\right] d x \\& =\frac{1}{\sin (a-b)}[\ln \sin (x+b)-\ln \sin (x+a)]+C\end{aligned}$

Ví dụ minh họa:

Tim nguyên hàm sau dây: $I=\int \frac{d x}{\sin z z \sin \left(x+\frac{2}{6}\right)}$

Giải:

Ta có: $1=\frac{\sin \frac{\pi}{6}}{\sin \frac{\pi}{6}}=\frac{\sin \left[\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-x\right]}{\frac{1}{2}}=2\left[\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos x-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin x\right]$

Từ đó: $I=2 \int \frac{\left[\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \cos x-\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right) \sin x\right]}{\sin x \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x=2 \int \frac{\cos x}{\sin x}-\frac{\cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x$

$=2 \int \frac{d(\sin x)}{\sin x}-2 \int \frac{d\left(\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=2 \ln \left|\frac{\sin x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}\right|+C$

Dạng 2

$I=\int \tan (x+a) \tan (x+b) d x$

- Phương pháp tính:

Ta có: $\tan (x+a) \tan (x+b)=\frac{\sin (x+a) \sin (x+b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}$

$=\frac{\sin (x+a) \sin (x+b)+\cos (x+a) \cos (x+b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-1=\frac{\cos (a-b)}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-1$

Từ đó: $I=\cos (a-b) \int \frac{d x}{\cos (x+a) \cos (x+b)}-1$

Đến đây ta gặp bài toán tìm nguyên hàm ở Dạng 1 .

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm sau đây: $K=\int \tan \left(x+\frac{\pi}{3} \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right) d x\right.$

Giài:

Ta có: $\tan \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cot \left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}$

$=\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1$

$=\frac{\sin \left[\left(x+\frac{\pi}{3}\right)-\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\right]}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}+1$

Từ đó: $K=\frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)} d x+\int d x=\frac{1}{2} K_1+x+C$

Đến đây, bằng cảch tính ở Dạng 1 , ta tỉnh được:

$K_1=\int \frac{d x}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\frac{2}{\sqrt{3}} \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+C$

Suy ra: $K=\frac{\sqrt{3}}{3} \ln \left|\frac{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}\right|+x+C$

Dạng 3

$I=\int \frac{d}{\operatorname{asin}+\operatorname{sen} x}$

- Phương pháp tính:

Có: $a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos x\right)$

$\begin{aligned}& \Rightarrow a \sin x+b \cos x=\sqrt{a^2+b^2} \sin (x+\alpha) \\& \Rightarrow I=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \int \frac{d x}{\sin (x+\alpha)}=\frac{1}{\sqrt{a^2+b^2}} \ln \left|\tan\frac{x+\alpha}{2}\right|+C\end{aligned}$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm $\mathrm{I}=\int \frac{2 d x}{\sqrt{\sin x+\cos x}}$

$\begin{aligned}I & =\int \frac{2 d x}{\sqrt{3} \sin x+\cos x}=\int \frac{d x}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x}=\int \frac{d x}{\sin x \cos \frac{\pi}{6}+\cos x \sin \frac{\pi}{6}} \\& =\int \frac{d x}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\int \frac{d\left(x+\frac{\pi}{6}\right)}{\sin \left(x+\frac{\pi}{6}\right)}=\ln \left|\tan \frac{x+\frac{\pi}{6}}{2}\right|+C=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{12}\right)\right|+C\end{aligned}$

Dạng 4

$I=\int \frac{d x}{a \sin x+b \cos x+c}$

- Phương pháp tính:

$\text { Đặt } \tan \frac{x}{2}=t \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^2} \\\sin x=\frac{2 t}{1+t^2} \\\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\\tan x=\frac{2 t}{1-t^2}\end{array}\right.$

Ví dụ minh họa:

Đặt $\tan \frac{x}{2}=t \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^2} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^2} \\ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\end{array}\right.$

Từ đó:

$\begin{aligned}I & =\int \frac{\frac{2 d t}{1+t^2}}{3 \cdot \frac{1-t^2}{1+t^2}+5 \frac{2 t}{1+t^2}+3}=\int \frac{2 d t}{3-3 t^2+10 t+3+3 t^2}=\int \frac{2 d t}{10 t+6} \\& =\frac{1}{5} \int \frac{d(5 t+3)}{5 t+3}=\frac{1}{5} \ln |5 t+3|+C=\frac{1}{5} \ln \left|5 \tan \frac{x}{2}+3\right|+C\end{aligned}$

Phương pháp tính nguyên hàm của hàm số mũ

Để tìm nguyên hàm của hàm số mũ, các em cần nắm được bảng nguyên hàm các số mũ cơ bản, sau đó áp dụng vào tính nguyên hàm. Bảng nguyên hàm của các hàm số mũ như sau:

Bảng nguyên hàm của các hàm số mũ

Ví dụ minh họa:

Xét hàm số sau đây: $y=5.7^x+x^2$

A. $5 \cdot \frac{7^x}{\ln 7}+\frac{x^3}{3}+C$

B. $5 \cdot 7^x+\frac{x^3}{3}+C$

C. $5 \cdot \frac{7^x}{\ln 7}+3 x^3+C$

D. Tất cả sai

Giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đề bài là:

$\begin{aligned}I & =\int\left(5.7^x+x^2\right) d x=5 . \int 7^x d x+\int x^2 d x \\& =5 \cdot \frac{7^x}{\ln 7}+\frac{x^3}{3}+C\end{aligned}$

Chọn đáp án $\mathrm{A}$

Phương pháp tính nguyên hàm biến đổi số

Sử dụng phương pháp biến đổi sổ hay đặt ẩn phụ sẽ dựa vào 2 định lý là:

- Nếu $\int f(x) d x=F(x)+C$ và $u=\varphi(x)$ là hàm số có đạo hàm thì $\int f(u) d u=F(u)+C$

- Nếu hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ liên tục thì khi đặt $x=\varphi(t)$ trong đó $\varphi(t)$ cùng với đạo hàm của nó $\varphi^{\prime}(t)$ là những hàm só́ liên tục, ta sẽ được: $\int f(x)=\int f(\varphi(t)) \cdot \varphi^{\prime}(t) d t$

2 định lý tính nguyên hàm theo phương pháp biến đổi số

Từ định lý này, trong quá trình tính nguyên hàm các em sẽ gặp 2 dạng bài

Dạng 1

Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 tìm nguyên hàm $I=f(x) d x$

Phương pháp:

- Bước 1: Chọn $x=\varphi(t)$, trong đó $\varphi(t)$ là hàm số mà ta chọn cho thích hợp

- Bước 2: Lấy vi phân 2 vế, $d x=\varphi^{\prime}(t) d t$

- Bước 3: Biển thị $f(x) d x$ theo $\mathrm{t}$ và $\mathrm{dt}: f(x) d x=f(\varphi(t)) \cdot \varphi^{\prime}(t) d t=g(t) d t$

- Bước 4: Khi đó $I=\int g(t) d t=G(t)+C$

Ví dụ minh họa:

Tìm nguyên hàm của $I=\int \frac{d x}{\sqrt{\left(1-z^2\right)^3}}$

Giải:

- Đặt $x=\sin t ;-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} \Rightarrow d x=\operatorname{cost} d t$

ta cūng có: $\frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\frac{1}{\sqrt{\left(1-\sin ^2 t\right)^3}}=\frac{1}{\cos ^3 t}$

$\begin{aligned}& \text { Vậy: } \frac{d x}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}}=\frac{\cos t d t}{\cos ^3 t}=\frac{d t}{\cos ^2 t}=d(\tan (t)) \\& \Rightarrow I=\int d(\tan (t))=\tan (t)+C=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}+C \\& { }^* \text { Lưu ý: }-\frac{\pi}{2}<t<\frac{\pi}{2} \Rightarrow \cos t>0 \text { và } \tan (t)=\frac{\sin t}{\cos t}=\frac{\sin t}{\sqrt{1-\sin ^2 t}}=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\end{aligned}$

Một số lưu ý để luôn đạt điểm tối đa với bài tập về bảng nguyên hàm

Nếu các em muốn đạt điểm tối đa khi giải bài tập về tìm nguyên hàm, các em cẩn lưu ý một số vấn đề sau:

- Thứ nhất, nắm rõ kiến thức về nguyên hàm, đạo hàm và vi phân.

- Thứ hai, tránh nhầm lẫn các công thức nguyên hàm với nhau, đặc biệt không nhầm công thức nguyên hàm của hàm số với công thức nguyên hàm của lượng giác.

- Thứ ba, cần ghi nhớ thêm bảng nguyên hàm các hàm số mũ để giải bài tập dễ dàng hơn.

- Thứ tư, ôn luyện thật nhiều, giải nhiều dạng đế khác nhau để ghi nhớ kiến thức dễ dàng hơn. Trong trường hợp có những bài tập không thể giải, hãy tìm đến giáo viên để nhận được sự giúp đỡ.

Như vậy, bài viết trên không chỉ giúp các em bỏ túi được bảng nguyên hàm với đầy đủ các công thức từ cơ bản, nâng cao, mở rộng cho đển bảng nguyên hàm lượng giác. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết về phương pháp tính nguyên hàm sẽ giúp các em học toán giỏi hơn mỗi ngày. Chúc các em luôn tìm ra đáp án đúng và đạt kết quả cao với bài tập về nguyên hàm nhé!