Nguyên hàm: 5 dạng bài tập hay gặp và những lỗi sai cơ bản khi giải Toán

Nguyên hàm và các công thức tính toán đã được cô đưa ra ở bài chia sẻ trước đó. Tuy nhiên, nhìn vào bảng công thức khiến nhiều bạn mơ hồ không biết áp dụng vào đâu. Giải đoán nguyên hàm như thế nào?

Vậy thì bài chia sẻ dưới đây sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về 5 dạng bài tập hay gặp và những lỗi sai cơ bản khi giải Toán ở phần này nhé!

Tham khảo thêm: Nhanh chóng làm tốt bài tập tìm nguyên hàm khi nhớ đủ bộ công thức này!

5 dạng bài tập nguyên hàm hay gặp

Tính nguyên hàm được ứng dụng rất nhiều trong toán học. Đây là cách giúp giải quyết các bài toán tính toán về hàm số và biểu diễn các hàm số bằng cách tìm nguyên hàm của chúng. Hoặc tính toán các giá trị trung bình của một hàm số trong một khoảng thời gian nhất định bằng cách tính toán nguyên hàm của hàm số đó. Sau đó tính toán tích phân của nó trên khoảng thời gian đó.

Tính nguyên hàm còn giúp tìm ra các điểm cực trên một đồ thị hàm số bằng cách tìm nguyên hàm của hàm số và sau đó tìm các giá trị của nguyên hàm mà nó bằng không. Hoặc tìm ra các điểm đồng thời của hai hàm số khác nhau bằng cách tìm nguyên hàm của hai hàm số và sau đó tìm các giá trị của nguyên hàm mà chúng bằng nhau.

Tóm lại, tính nguyên hàm có rất nhiều ứng dụng với các dạng bài tập toán. Vì vậy, phần nguyên hàm rất quan trọng ở kiến thức Toán phần Đại số lớp 12. Dạng đề bài liên quan đến nguyên hàm hay được đưa vào trong các đề thi.

Các dạng bài tập liên quan đến đạo hàm

Hiện nay, có 5 dạng bài tập nguyên hàm hay gặp nhất, bao gồm: 

Tìm nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm.

• Dạng 1.1. Áp dụng bảng nguyên hàm (không có điều kiện).
• Dạng 1.2. Áp dụng bảng nguyên hàm tìm nguyên hàm có điều kiện.

Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân.

• Dạng 2.1. Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân (không có điều kiện).
• Dạng 2.1. Tìm nguyên hàm theo phương pháp vi phân (có điều kiện).

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến.

• Dạng 3.1. Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số (không có điều kiện).
• Dạng 3.2. Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số (có điều kiện).

Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

• Dạng 4.1. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (không có điều kiện).
• Dạng 4.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (có điều kiện).

Sử dụng nguyên hàm để giải toán.

Ví dụ minh họa về các dạng bài tập nguyên hàm 

Dưới đây là 5 bài tập ví dụ minh họa để các em có thể tham khảo về nguyên hàm. 

Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $\sin 3 x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) \cdot e^x$, họ tất cả các nguyên hàm cùa hàm số $f^{\prime}(x) \cdot e^x$ là

A. $3 \cos 3 x-\sin 3 x+C$.

B. $-3 \cos 3 x-\cos 3 x+C$.

C. $3 \sin 3 x-\cos 3 x+C$.

D. $3 \cos 3 x-\cos 3 x+C$.

Lời giải

Chọn A

Ta có $\sin 3 x$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) e^x$ suy ra $f(x) e^x=(\sin 3 x)^{\prime}=3 \cos 3 x$.

Xét $I=\int f^{\prime}(x) \cdot e^x \mathrm{~d} x$. Đật $\left\{\begin{array}{l}u=e^x \\ \mathrm{~d} v=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=e^x \mathrm{~d} x \\ v=f(x)\end{array}\right.\right.$

Khi đó ta có $I=\int f^{\prime}(x) \cdot e^x \mathrm{~d} x=f(x) \cdot e^x-\int f(x) \cdot e^x \mathrm{~d} x=3 \cos 3 x-\sin 3 x+C$.

Ví dụ 2. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$. Biết $x^2-3 x+1$ lả một nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x)}{x}$, họ tắt cả cảc nguyền hàm của hàm số $f^{\prime}(x) e^{2 x}$ là

A. $\frac{4 x-11 e^{2 x}}{2}+C$.

B. $2 x-2 e^{2 x}+C$.

C. $\frac{4 x-5 e^x}{2}+C$.

D. $\frac{4 x-5 e^{2 x}}{2}+C$.

Lời giải

Chọn D

Ta có $x^2-3 x+1$ là một nguyên hàm của hàm số $\frac{f(x)}{x}$ suy ra $\frac{f(x)}{x}=\left(x^2-3 x+1\right)^{\prime}=2 x-3$.

Suy ra $f(x)=2 x^2-3 x$ suy ra $f^{\prime}(x)=4 x-3$. Xét $I=\int(4 x-3) \cdot e^{2 x} \mathrm{~d} x$.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=4 x-3 \\ \mathrm{~d} v=e^{2 x} \mathrm{~d} x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{d} u=4 \mathrm{~d} x \\ v=\frac{1}{2} e^{2 x}\end{array}\right.\right.$.

Khi đó ta có:

$I=\int(4 x-3) \cdot e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{(4 x-3) e^{2 x}}{2}-2 \int e^{2 x} \mathrm{~d} x=\frac{(4 x-3) e^{2 x}}{2}-e^{2 x}+C=\frac{4 x-5 e^{2 x}}{2}+C .$

Ví dụ 3. Cho $\int \frac{(x-1)^{2019}}{(x+1)^{2015}} \mathrm{~d} x=\frac{1}{a} \frac{(x-1)^b}{(x+1)^c}+C$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng

A. 4.2018 .

B. 2.2018 .

C. 3.2018 .

D. 5.2018 .

Lời giải

Chọn A

$I=\int \frac{(x-1)^{2017}}{(x+1)^{2019}} \mathrm{~d} x=\int\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2019} \cdot \frac{1}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x$. Đạt $t=\frac{x-1}{x+1} \Rightarrow \mathrm{d} t=\frac{2}{(x+1)^2} \mathrm{~d} x$.

Khi dó $I=\int t^{2012} \frac{\mathrm{d} t}{2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{2018}}{2018}+C=\frac{1}{2.2018} \cdot\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2018}+C$

$=\frac{1}{2.2018} \cdot\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{2018}+C=\frac{1}{2.2018} \cdot \frac{(x-1)^{2018}}{(x+1)^{2018}}+C \text {. }$

Suy ra $a=2.2018, b=2018, c=2018$ nên $a+b+c=4.2018$.

Ví dụ 4. Biêt $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-2}$, thóa mãn $F(3)=1$ và $F(1)=2$, giá trị của $F(0)+F(4)$ bằng

A. $2 \ln 2+3$.

B. $2 \ln 2+2$ 。

C. $2 \ln 2+4$.

D. $2 \ln 2$ 。

Lời giải

Chon A

Hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \backslash\{2\}$.

Xét $I_1=\int_1^2 \frac{x}{(x+1)^2} d x$. Đặt $t=x+1 \Rightarrow d t=d x$.

$I_1=\int_2^3 \frac{t-1}{t^2} d t=\int_2^3 \frac{1}{t} d t-\int_2^3 \frac{1}{t^2} d t=\ln |t|_2^3+\left.\frac{1}{t}\right|_2 ^3=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{6} .$

Xét $I_2=\int_1^2 \frac{\ln x}{(x+1)^2} d x=-\left.\frac{1}{x+1} \ln x\right|_1 ^2+\int_1^2 \frac{1}{x(x+1)} d x=-\frac{1}{3} \ln 2+\int_1^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right) d x$.

$I_2=-\frac{1}{3} \ln 2+\ln \left|\frac{x}{x+1}\right|_1^2=-\frac{1}{3} \ln 2+\ln \frac{4}{3}$, Do đó $I=\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{6}-\frac{1}{3} \ln 2+\ln \frac{4}{3}=\frac{2}{3} \ln 2-\frac{1}{6}$.

$\Rightarrow S=\frac{a+b}{c}=\frac{2+3}{6}=\frac{5}{6}$.

Những lỗi sai cơ bản khi giải Toán nguyên hàm

Với phẩn nguyên hàm, việc tính áp và áp dụng công thức rất quan trọng. Tuy nhiên, khi làm đế trực tiếp, vẫn có nhiếu em chưa biết cách ứng dụng cho đúng. Hay tìm đúng công thức cấn tính.

Dưới đây là một sổ lổi sai và cách khắc phục để giúp các em làm toán nguyên hàm tốt hơn.

Khắc phục ngay các lỗi khi làm đề toán đạo hàm

Hầu hết khi giải bài này các bạn thường mắc phải lỗi này:

Nhớ nhầm công thức nguyên hàm

Lỗi sai này thường gặp phải khi các em không nắm chắc nền tảng cơ bản. Cơ sở của nguyên hàm là đạo hàm. Tức là muốn giải nguyên hàm thì cần phải học hoặc học đạo hàm trước. Chính vì vậy khi không hiểu bản chất của hai định nghĩa này, bạn rất dễ nhầm lẫn, nhầm công thức này với công thức kia.

Để giải quyết lỗi sai này, hãy nắm vững bảng nguyên hàm cơ bản. Đồng thời hình thành thói quen tra công thức: lấy đạo hàm của hàm nguyên hàm xem có bằng số đã cho hay không.

Không áp dụng đúng định nghĩa tích phân

Hãy đọc kỹ và nắm vững định nghĩa điểm. Tập thói quen tính toán ∫f(x)dx, nhớ kiểm tra xem hàm số y = f(x) có liên tục trên đoạn thẳng không. Đặc biệt, nếu hàm số không liên tục trên khoảng thì không tồn tại tích phân!

Nhớ sai tính chất của tích phân

Nhiều bạn không sử dụng công thức nguyên hàm từng phần mà thường tự tạo quy tắc cho tích nguyên hàm. Lỗi này nghiêm trọng nhưng cũng rất phổ biến. Hãy chú ý đọc lại và nắm các tính chất của nguyên hàm và tích phân

Sử dụng sai công thức gốc

Do ​​trong bảng gốc có nhiều dạng câu hỏi và công thức nên có nhiều trường hợp đặt sai công thức, hoặc nhớ nhầm từ công thức này sang công thức khác.

Với sai lầm này, hãy cố gắng cẩn thận và chi tiết hơn. Đây  là yếu tố vô cùng cần thiết trong toán học. Bởi đôi khi chỉ cần sai một số thập phân hay một công thức nhỏ trong bảng nguyên hàm nói riêng và các bài toán nói chung. Sau đó, tất cả các kết quả là vô ích.

Vì vậy, một lần nữa, lời khuyên về cách khắc phục những sai lầm này là ghi nhớ các bảng nguyên hàm và các công thức nguyên hàm cơ bản. Biết dạng câu hỏi chính xác và tránh sử dụng sai công thức. Tính toán cẩn thận, áp dụng các con số và tránh những sai lầm nhỏ nhặt.

Kết luận

Nguyên hàm và tính nguyên hàm là một phần quan trọng trong Toán học và các môn khoa học khác. Đây là kiến thức cơ bản nhưng lại rất quan trọng, liên quan đến nhiều kiến thức khác trong Toán phần Đại số lớp 12. Trong các đề thi Đại học hiện nay cũng có nhiều phần câu hỏi liên quan đến đạo hàm. Vậy nên, các em cần tập trung và ghi nhớ rõ phần kiến thức này nhé!