Nguyên hàm là khái niệm trong toán học, được sử dụng để mô tả sự tăng hoặc giảm của một hàm số theo thời gian hoặc không gian. Tìm nguyên hàm của một hàm số là một kỹ năng quan trọng trong toán học và được sử dụng rất nhiều trong các bài toán liên quan đến tổng và đạo hàm của hàm số, phân tích tuyến tính và phân tích số học.
Làm sao để giải quyết dạng toán tìm nguyên hàm? Tất cả sẽ không còn là vấn đề khi các em nắm trọn bộ công thức nguyên hàm được chia sẻ trong bài viết dưới đây!
Tính nguyên hàm là gì? Bảng công thức nguyên hàm, tính chất, định nghĩa, định lý
Trong toán học, nguyên hàm được sử dụng rất nhiều trong các tính toán liên quan đến tổng và đạo hàm của hàm số. Nguyên hàm cũng được sử dụng trong các bài toán về phân tích tuyến tính và phân tích số học.
Nguyên hàm của một hàm số f(x) là một hàm số F(x) được xác định bởi công thức $F^{\prime}(x)=f(x)$. Cụ thể:
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu $F^{\prime}(x)=f(x)$ với mọi x∈K
Định lí 1:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số $G(x)=F(x)+C$ cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
Định lí 2:
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của (x) trên K đều có dạng F(x) + C, với C là một hằng số.
Định lí 3:
Mọi hàm số f(x) liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
Nguyên hàm cơ bản có 3 tính chất như sau:
- Tính chất 1: (Suy trực tiếp từ định nghĩa nguyên hàm) $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$
- Tính chất 2:$\int k f(x) d x=k \int f(x) d x$ (k là hằng số khác 0)
- Tính chất 3: $\int[f(x) \pm g(x)] d x=\int f(x) d x \pm g(x) d x$
Cách tính nguyên hàm
Mỗi dạng nguyên hàm sẽ có cách tính riêng. Dưới đây, cô sẽ tổng hợp cho các em 2 phương pháp tính nguyên hàm hay gặp nhất.
Phương pháp đổi biến
Với cách thức đổi biến hàm số, các em có thể áp dụng 2 cách đổi biến dưới dây để tính nguyên hàm.
Đổi biến dạng 1
Cho hàm số $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên K và hàm số $y = f(u)$ liên tục sao cho $\mathrm{f}[\mathrm{u}(\mathrm{x})]$ xác định trên K. Khi đó, nếu F là một nguyên hàm của f, tức là: $\int f(u) d u=F(u)+C$ thì:
$\int f[u(x)] u^{\prime}(x) d x=F[u(x)]+C$
Phương pháp giải
- Bước 1: Chọn $t=\varphi(x)$. Trong đó $\varphi(x)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp.
- Bước 2: Tính vi phân hai vế: $\mathrm{dt}=\varphi^{\prime}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$
- Bước 3: Biểu thị: $f(x) d x=f[\varphi(t)] \varphi^{\prime}(t) d t=g(t) d t$.
- Bước 4: Khi đó: $I=\int f(x) d x=\int g(t) d t=G(t)+C$.
Đổi biến loại 2
Cho hàm số f(x) liên tục trên K; $x=\varphi(t)$ là một hàm số xác định, liên tục trên K và có đạo hàm là $\varphi^{\prime}(\mathrm{t})$. Khi đó, ta có:
$\int f(x) d x=\int f[\varphi(t)] \cdot \varphi^{\prime}(t) d t$
Phương pháp giải
- Bước 1: Chọn $x=\varphi(t)$, trong đó $\varphi(x)$ là hàm số mà ta chọn thích hợp.
- Bước 2: Lấy vi phân hai vế: dx = φ'(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
- Bước 4: Khi đó tính: ∫ f(x)dx = ∫g(t)dt = G(t) + C.
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Hiện nay với các nguyên hàm phức tạp, các em có thể sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Phương pháp này sẽ áp dụng cho phép tính nguyên hàm bao gồm nhiều loại hàm số trong đó. Chẳng hạn như: Hàm số vô tỉ, hàm số logarit, hàm số mũ hay hàm số lượng giác.
Phương pháp làm cụ thể như sau:
Cho hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K ta có công thức nguyên hàm từng phần: $\int u d v=u v-\int v d u$.
Chú ý: Ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần nếu nguyên hàm có dạng $\mathrm{I}=\int \mathrm{f}(\mathrm{x}) \cdot \mathrm{g}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}$, trong đó f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ.
Hướng dẫn tính nguyên hàm từng phần của $\int f(x) \cdot g(x) d x$
Bước 1: Đặt
Công thức nguyên hàm từng phần đầy đủ nhất
$\left\{\begin{array}{c}u=f(x) \\ d v=g(x) d x\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c}d u=f^{\prime}(x) d x \\ v=G(x)\end{array}\right.\right.$
Trong đó G(x) là một nguyên hàm bất kỳ của hàm số g(x)
Bước 2: Khi đó theo công thức nguyên hàm từng phần ta có:
$\int f(x) \cdot g(x) d x=f(x) \cdot G(x)-\int G(x) \cdot f^{\prime}(x) d x$.
Chú ý: Khi I=∫f(x).g(x)dx và f(x) và g(x) là 2 trong 4 hàm số: Hàm số logarit, hàm số đa thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ ta đặt theo quy tắc đặt u.
- Nhất log (hàm log, ln) – Nhì đa (hàm đa thức)
- Tam lượng (hàm lượng giác) – Tứ mũ (hàm mũ)
Có thể hiểu là: hàm số nào đứng trước trong câu nói trên ta sẽ đặt u bằng hàm đó. Như sau:
- Nếu f(x) là hàm log, g(x) là một trong 3 hàm còn lại, ta sẽ đặt:
$\left\{\begin{array}{c}u=f(x) \\ d v=g(x) d x\end{array}\right.$
- Tương tự nếu f(x) là hàm mũ, g(x) là hàm đa thức, ta sẽ đặt:
$\left\{\begin{array}{c}u=g(x) \\ d v=f(x) d x\end{array}\right.$
Bảng nguyên hàm đầy đủ
Để tìm nguyên hàm của một hàm số, ta cần phải tính đạo hàm của hàm số đó và sau đó lập phương trình đạo hàm bằng f(x). Các em có thể giải phương trình đạo hàm đó để tìm nguyên hàm của hàm số.
Tìm nguyên hàm của một hàm số có thể được thực hiện bằng cách sử dụng quy tắc tìm nguyên hàm, mỗi loại hàm số có một quy tắc riêng.
Dưới đây là bảng công thức tính nguyên hàm cơ bản, nâng cao, mở rộng mà các em có thể tham khảo và áp dụng khi giả bài tập.
| Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp thường gặp | Nguyên hàm của các hàm só hợp (dưới đây u = u(x) ) |
| $\int \mathrm{dx}=\mathrm{x}+\mathrm{C}$ | $\int d u=u+C$ |
| $\int \mathrm{x}^\alpha \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{x}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+\mathrm{C} \quad(\alpha \neq-1)$ | $\int \mathrm{u}^\alpha \mathrm{du}=\frac{\mathrm{u}^{\alpha+1}}{\alpha+1}+\mathrm{C} \quad(\alpha \neq-1)$ |
| $\int \frac{d x}{x}=\ln |x|+C \quad(x \neq 0)$ | $\int \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}}=\ln |\mathrm{u}|+\mathrm{C} \quad(\mathrm{u}=\mathrm{u}(\mathrm{x}) \neq 0)$ |
| $\int e^x d x=e^x+C$ | $\int \mathrm{e}^{\mathrm{u}} \mathrm{du}=\mathrm{e}^{\mathrm{u}}+\mathrm{C}$ |
| $\int \mathrm{a}^{\mathrm{x}} \mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{x}}}{\ln \mathrm{a}}+\mathrm{C} \quad(0<\mathrm{a} \neq 1)$ | $\int \mathrm{a}^{\mathrm{u}} \mathrm{du}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{u}}}{\ln \mathrm{a}}+\mathrm{C} \quad(0<\mathrm{a} \neq 1)$ |
| $\int \cos x d x=\sin x+C$ | $\int \cos u d u=\sin u+C$ |
| $\int \sin x d x=-\cos x+C$ | $\int \sin u d u=-\cos u+C$ |
| $\int \frac{d x}{\cos ^2 x}=\int\left(1+\operatorname{tg}^2 x\right) d x=\operatorname{tg} x+C$ | $\int \frac{\mathrm{du}}{\cos ^2 u}=\int\left(1+\operatorname{tg}^2 \mathrm{u}\right) \mathrm{du}=\operatorname{tg} u+C$ |
| $\int \frac{d x}{\sin ^2 x}=\int\left(1+\operatorname{cotg}^2 x\right) d x=-\cot g x+C$ | $\int \frac{d u}{\sin ^2 u}=\int\left(1+\operatorname{cotg}^2 u\right) d u=-\cot g u+C$ |
| $\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}}=\sqrt{x}+C \quad(x>0)$ | $\int \frac{\mathrm{du}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}}=\sqrt{\mathrm{u}}+\mathrm{C} \quad(\mathrm{u}>0)$ |
| $\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+C \quad(a \neq 0)$ | |
| $\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C \quad(a \neq 0)$ | |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}=\frac{1}{\mathrm{a}} \ln |\mathrm{ax}+\mathrm{b}|+\mathrm{C}$ | |
| $\int \mathrm{e}^{a x+b} \mathrm{dx}=\frac{1}{\mathrm{a}} \mathrm{e}^{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C} \quad(\mathrm{a} \neq 0)$ | |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}}=\frac{2}{\mathrm{a}} \sqrt{\mathrm{ax}+\mathrm{b}}+\mathrm{C} \quad(\mathrm{a} \neq 0)$ | |
Bảng nguyên hàm cơ bản
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{a^2-x^2}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{x \sqrt{x^2+a^2}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right|+c$ |
| $\int \ln (a x+b) \mathrm{dx}=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c$ |
| $\int \sqrt{a^2-x^2} \mathrm{dx}=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c$ |
| $\int \frac{\mathrm{dx}}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}\right|+c$ |
| $\int e^{a x} \cos b x \mathrm{dx}=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^2+b^2}+c$ |
| $\int e^{a x} \sin b x \mathrm{dx}=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^2+b^2}+c$ |
Bảng công thức nguyên hàm nâng cao
| $\int(a x+b)^\alpha d x=\frac{1}{a}\left(\frac{a x+b}{\alpha+1}\right)^{\alpha+1}+c, \alpha \neq-1$ | $\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \sin (a x+b)+c$ |
| $\int \frac{d x}{a x+b}=\frac{1}{a} \ln |a x+b|+c+c$ | $\int \sin (a x+b) d x=\frac{-1}{a} \cos (a x+b)+c$ |
| $\int e^{a x+b} d x=\frac{1}{a} e^{a x+b}+c$ | $\int \operatorname{tg}(a x+b) d x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+c$ |
| $\int m^{a x+b} d x=\frac{1}{a \ln m} m^{a x+b}+c$ | $\int \operatorname{cotg}(a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+c$ |
| $\int \frac{d x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a} \operatorname{arctg} \frac{x}{a}+c$ | $\int \frac{d x}{\sin ^2(a x+b)}=\frac{-1}{a} \operatorname{cotg}(a x+b)+c$ |
| $\int \frac{d x}{a^2-x^2}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c$ | $\int \frac{d x}{\cos ^2(a x+b)}=\frac{1}{a} \operatorname{tg}(a x+b)+c$ |
| $\int \frac{d x}{\sqrt{x^2+a^2}}=\ln \left(x+\sqrt{x^2+a^2}\right)+c$ | $\int \arcsin \frac{x}{a} d x=x \arcsin \frac{x}{a}+\sqrt{a^2-x^2}+c$ |
| $\int \frac{d x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin \frac{x}{|a|}+c$ | $\int \arccos \frac{x}{a} d x=x \arccos \frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2}+c$ |
| $\int \frac{d x}{x \sqrt{x^2-a^2}}=\frac{1}{a} \arccos \left|\frac{x}{a}\right|+c$ | $\int \operatorname{arctg} \frac{x}{a} d x=x \operatorname{arctg} \frac{x}{a}-\frac{a}{2} \ln \left(a^2+x^2\right)+c$ |
| $\int \frac{d x}{x \sqrt{x^2+a^2}}=-\frac{1}{a} \ln \left|\frac{a+\sqrt{x^2+a^2}}{x}\right|+c$ | $\int \operatorname{arccotg} \frac{x}{a} d x=x \operatorname{arccotg} \frac{x}{a}+\frac{a}{2} \ln \left(a^2+x^2\right)+c$ |
| $\int \ln (a x+b) d x=\left(x+\frac{b}{a}\right) \ln (a x+b)-x+c$ | $\int \frac{d x}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+c$ |
| $\int \sqrt{a^2-x^2} d x=\frac{x \sqrt{a^2-x^2}}{2}+\frac{a^2}{2} \arcsin \frac{x}{a}+c$ | $\int \frac{d x}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+c$ |
| $\int e^{a x} \sin b x d x=\frac{e^{a x}(a \sin b x-b \cos b x)}{a^2+b^2}+c$ | $\int e^{a x} \cos b x d x=\frac{e^{a x}(a \cos b x+b \sin b x)}{a^2+b^2}+c$ |
Bảng công thức nguyên hàm mở rộng
Nguyên hàm của số sơ cấp | Nguyên hàm của hàm của hàm số hợp (u = u(x)) | Nguyên hàm của hàm số hợp ($u=a x+b$; $a \neq 0$) |
| $\int \sin x d x=-\cos x+C$ | $\int \sin u d u=-\cos u+C$ | $\int \sin (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \cos (a x+b)+C$ |
| $\int \cos x d x=\sin x+C$ | $\int \cos u d u=\sin u+C$ | $\int \cos (a x+b) d x=\frac{1}{a} \cdot \sin (a x+b)+C$ |
| $\int \tan x \cdot d x=-\ln |\cos x|+C$ | $\int \tan u \cdot d u=-\ln |\cos u|+C$ | $\int \tan (a x+b) d x=-\frac{1}{a} \ln |\cos (a x+b)|+C$ |
| $\int \cot x \cdot d x=\ln |\sin x|+C$ | $\int \cot u \cdot d u=\ln |\sin u|+C$ | $\int \cot (a x+b) d x=\frac{1}{a} \ln |\sin (a x+b)|+C$ |
| $\int \frac{1}{\sin ^2 x} d x=-\cot x+C$ | $\int \frac{1}{\sin ^2 u} d u=-\cot u+C$ | $\int \frac{1}{\sin ^2(a x+b)} d x=-\frac{1}{a} \cot (a x+b)+C$ |
| $\int \frac{1}{\cos ^2 x} d x=\tan x+C$ | $\int \frac{1}{\cos ^2 u} d u=\tan u+C$ | $\int \frac{1}{\cos ^2(a x+b)} d x=\frac{1}{a} \tan (a x+b)+C$ |
| $\int \frac{1}{\sin x} d x=\ln \left|\tan \frac{x}{2}\right|+C$ | $\int \frac{1}{\sin u} d u=\ln \left|\tan \frac{u}{2}\right|+C$ | $\int \frac{d x}{\sin (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\operatorname{tg} \frac{a x+b}{2}\right|+C$ |
| $\int \frac{1}{\cos x} d x=\ln \left|\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$ | $\int \frac{1}{\cos u} d u=\ln \left|\tan \left(\frac{u}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|+C$ | $\int \frac{d x}{\cos (a x+b)}=\frac{1}{a} \ln \left|\tan \frac{a x+b}{2}+\frac{\pi}{4}\right|+C$ |
Bảng công thức nguyên hàm lượng giác
Trên đây là tổng hợp toàn bộ những công thức nguyên hàm mà các em hay gặp. Nắm chắc và ghi nhớ trọn bộ công thức sẽ giúp cho quá trình tính và giải các bài toán nguyên hàm trở nên dễ dàng hơn.
Hãy nắm lòng những công thức được chia sẻ trong bài viết nhé! Đây sẽ là công cụ giúp các em ghi trọn điểm trong phần tính nguyên hàm khi kiểm tra Toán đó!
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
