Công thức đạo hàm toán 12. Nắm trọn công thức đầy đủ và chi tiết

Công thức đạo hàm không chỉ nhiều mà còn khó nhớ. Vì vậy trong bài viết này Admin sẽ tổng hợp đầy đủ các kiến thức từ cơ bản đến nâng cao để giúp các em giải toán đạo hàm dễ dàng hơn. Cùng đi vào chuyên đề đạo hàm và công thức tính đạo hàm với chia sẻ dưới đây ngay nhé!

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại x₀, khi số gia của đối số tiến dần về 0. Từ định nghĩa ta có:

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và x₀ ∊ (a;b)

$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\left(\Delta x=x-x_0, \Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right.$

Định nghĩa đạo hàm

=> y = f(x) có đạo hàm tại x₀ thì nó liên tục tại điểm đó.

Một số quy tắc đạo hàm cơ bản mà các em cần nhớ như sau:

(c)'= 0 (Đạo hàm của hằng số luôn bằng 0)

$(u+v)^{\prime}=(u)^{\prime}+(v)^{\prime}$
$(u-v)^{\prime}=(u)^{\prime}-(v)^{\prime}$
$\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)^{\prime}=\left(\mathrm{u}_1\right)^{\prime}+\left(\mathrm{u}_2\right)^{\prime}+\ldots\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)^{\prime \prime}$
$\left(u_1-u_2-\ldots-u_n\right)^{\prime}=\left(u_1\right)^{\prime}-\left(u_2\right)^{\prime}-\ldots\left(u_n\right)^{\prime \prime}$
$(u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+(v)^{\prime} \cdot u$
$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v=v(x) \neq 0)$
Nếu $y=y[u(x)]=>y^{\prime}(x)=y^{\prime}(u) \cdot u^{\prime}(x)$

Các em cần các công thức đạo hàm cơ bản như sau:

$(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$
$y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u x$
$(u . v)^{\prime}=u^{\prime} . v+u^{\prime} v^{\prime}$
$(\mathrm{k} . \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{k} . \mathrm{u}^{\prime}$
$\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}$
$\left(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{k} \cdot \mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$

Để giúp các em có thể nắm bắt trọn vẹn các công thức đạo hàm từ sơ cấp, cho đến cao cấp và cả đạo hàm lượng giác, Admin sẽ chia sẻ bảng công thức đầy đủ và chi tiết dưới đây:

Công thức đạo hàm sơ cấp, thường gặp

$(C)^{\prime}=0$
$\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}$ với $\alpha \in R$
$(\sqrt{x})=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
$\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$
$(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} n \in N^*, n>1$
$(\sin \sin x)^{\prime}=\cos \cos x$
$(\cos \cos x)^{\prime}=-\sin \sin x$
$(\tan \tan x)^{\prime}=1+x=\frac{1}{x}$
$(x)^{\prime}=-(1+x)=-\frac{1}{x}$
$\left(e^x\right)’=e^x$
$\left(e^u\right)’=u \cdot e^u$
$(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$
$(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
$\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2}$
$\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| \cdot x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$
$\left(\mathrm{u}^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot \mathrm{u}^{\alpha-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime} \quad$ với $\alpha \in \mathrm{R}$
$(\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}} ; \quad\left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$
$(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$
$(\operatorname{Sin} \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{u}^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} \mathrm{u}$;
$(\operatorname{Cos} \mathrm{u})^{\prime}=-\mathrm{u}^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} \mathrm{u}$
$(\tan \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{u}^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 \mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 \mathrm{u}}$
$(\operatorname{Cot} \mathrm{u})^{\prime}=-\mathrm{u}^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 \mathrm{u}\right)=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 \mathrm{u}}$
$\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$
$\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$
$\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$
$\left(\log _{\mathrm{a}} \mathrm{u}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u} \cdot \ln \mathrm{a}}$
$\left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f . x+(b f-c e)}{(e x+f)^2}

Công thức đạo hàm cao cấp

$\left(x^m\right)^{(n)}=m(m-1)(m-2)(m-n+1) x^{m-n} n$ ếu $m \geq n$
$\left(x^{m)^{(n)}}=0\right.$ nếu $m<n$
$\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$
$(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1} \cdot(n-1) ! \cdot x^{-n}$
$\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$
$\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$
$(\sin \sin a x)^{(n)}=a^n \operatorname{Sin}\left(a x+n \frac{\pi}{2}\right)$
$(\cos \cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+n \frac{\pi}{2}\right)$
$\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

Công thức đạo hàm lượng giác

$(\sin (x))^{\prime}=\cos (x)$
$(\cos (x))^{\prime}=-\sin (x)$
$(\tan \tan (x))^{\prime}=\left(\frac{\sin \sin (x)}{\cos \cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^2(x)+\sin ^2(x)}{\cos ^2(x)}=\frac{1}{\cos ^2(x)}=\sec ^2(x)$
$(\cot \cot (x))^{\prime}=\left(\frac{\cos \cos (x)}{\sin \sin (x)}\right)^{\prime}=\frac{-\sin ^2(x)-\cos ^2(x)}{\sin ^2(x)}=-\left(1+\cot ^2(x)\right)=-\csc ^2(x)$
$(\sec \sec (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos \cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\sin (x)}{\cos ^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x) \tan (x)$
$(\csc \csc (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin \sin (x)}\right)^{\prime}=\frac{\cos (x)}{\sin ^2(x)}=-\frac{1}{\sin \sin (x)} \frac{\cos \cos (x)}{\sin \sin (x)}=-\csc (x) \cot (x)$
$(\arcsin \arcsin (x))^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Một số phân thức hữu tỉ cơ bản thường gặp và đạo hàm của chúng

$y^{\prime}=\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}$
$y^{\prime}=\left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)=\frac{a e x^2+2 a f+(b f-c e)}{(e x+f)^2}$
$y^{\prime}=\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$

Trong quá trình làm và giải bài tập về đạo hàm các em sẽ gặp rất nhiều các dạng bài khác nhau. Admin đã tổng hợp và gửi đến các em các dạng phổ biến hay gặp nhất kèm cách giải và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số là dạng cơ bản nhất của giải tích. Các em chỉ cần nhớ định nghĩa và áp dụng nó vào bài là có thể tìm ra đáp án chuẩn xác.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=2 x^3+1$ tại $x=2$

Giải

Ta có $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^3-16}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} 2\left(x^2+2 x+4\right)=24$ :

$\Rightarrow f^{\prime}(2)=24$

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức bằng đạo hàm

Đây là dạng bài mà các em cần phải chú trọng vào chứng minh một hệ thức thông qua điều kiện được đề bài cho sẵn. Muốn ra kết quả cuối cùng, các em cần có kỹ năng chứng minh và tính toán chính xác.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=e^{-x} \cdot \sin x$, chứng minh hệ thức $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0$

Giải

Ta có $\mathrm{y}^{\prime}=-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \cdot \sin \mathrm{x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \cdot \cos \mathrm{x}$

$y^{\prime}=-e^{-x} \cdot \sin x+e-x \cdot \cos x$

$y^{\prime \prime}=e^{-x} \cdot \sin x-e^{-x} \cdot \cos x-e^{-x} \cdot \cos x-e^{-x} \cdot \sin x=-2 e^{-x} \cdot \cos x$

Vậy $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=-2 \cdot e^{-x} \cdot \cos x--2 \cdot e^{-x} \cdot \sin x+2 \cdot e^{-x} \cdot \cos x+2 \cdot e^{-x} \cdot \sin x=0$

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Dạng viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm rất hay gặp. Thường đề bài sẽ cho cụ thể phương trình tiếp tuyến của hàm số trên độ thì cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M (x₀; y₀) và $y=y^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+y_0$

Ví dụ 3: Cho một hàm số $y=x^3+3 \cdot m \cdot x^2+(m+1) \cdot x+1$ với m là một tham số thực. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2)

Giải

Ta có: $y^{\prime}=f^{\prime}(x)=3.2+6 \cdot m \cdot x+m+1$

Với $x_0=-1=>y_0=2 . m-1$ và $f^{\prime}(-1)=-5 m+4$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\mathrm{M}(-1 ; 2 . \mathrm{m}-1)$ là:

$y=(-5 \cdot m+4) \cdot(x+1)+2 \cdot m-1$

Theo đề bài ta có điểm A (1;2) nằm trên tiếp tuyến của đồ thị hàm số y, nên ta có:

$\begin{aligned} & y=(-5 \cdot m+4) \cdot(x+1)+2 \cdot m-1 \\ & \Leftrightarrow(-5 \cdot m+4) \cdot 2+2 \cdot m-1=2 \\ & \Leftrightarrow m=5 / 8\end{aligned}$

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Đây cũng là một dạng mà các em cần vận dụng công thức đạo hàm vào tính toán để tìm ra kết quả chuẩn xác. Khi đề bài cho một hàm số y = f(x) biết hệ số góc là k cho trước. Lúc này các em sẽ cần gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm thì khi đó các em cần tính y’ = y’($x_0$). Khi đó, phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k với y’ = ($x_0$) = k(i) là:

$x_0$ => $y_0$ = $f\left(x_0\right)$ => Phương trình tiếp tuyến ∆: $y=k \cdot\left(x-x_0\right)+y_0$

Với hệ số góc $k=y^{\prime}\left(x_0\right)$, lúc này các em cần cần nhớ thêm các kiểu gián tiếp như sau:

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta / / d: y=a x+b \Rightarrow k=a$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta \perp d: y=a x+b \Rightarrow k=-\frac{1}{a}$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tạo với trục hoành góc $\alpha \Rightarrow|k|=\tan \alpha$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tạo với $d: y=a x+b$ góc $\alpha \Rightarrow\left|\frac{k-a}{1+k \cdot a}\right|=\tan \alpha$.

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C) có hàm số $y=x^3-3.x^2+9x-5$. Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị trên.

Giải

$\text {ТХĐ :} D=R \text {. }$

Ta có

$$\begin{aligned}& y^{\prime}=3 x^2-6 x+9 \Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)=3 x_0^2-6 x_0+9=3\left(x_0^2-2 x_0+1\right)+6=3\left(x_0-1\right)^2+6 \\& \geq 6 \\& \Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)_{\min }=6 \Leftrightarrow x_0=1 \Rightarrow y_0=2\end{aligned}$$

Do đó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là $y=6(x-1)+2=6 x-4$.

Dạng 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Đây là dạng toán mà các em sẽ phải kết hợp nhiều công thức đạo hàm với nhau để có thể tính toán và tìm ra kết quả. Vì vậy, các em cần nhớ tất cả các công thức đạo hàm cơ bản mới có thể giải được dạng toán này nhé!

Ví dụ 5: Cho hàm số$f(x)=x^3 \cdot \ln x$, hãy giải phương trình: $f^{\prime}(x)$ - $\frac{1}{x.f(x)}$ = 0 (1)

Giải

$\begin{aligned} & \text { Ta có } f(x)=3 x^2 \ln x+x^3 \cdot \frac{1}{x}=3 x^2 \ln x+x^2 \\ & \begin{aligned} \text { Vậy (1) } & \Leftrightarrow 3 x^2 \ln x+x^2-x^2 \ln x=0 \\ & \Leftrightarrow 2 x^2 \ln x+x^2=0 \\ & \Leftrightarrow x^2(2 \ln x+1)=0\end{aligned}\end{aligned}$ (2)

Rõ ràng $x>0$ là điều kiện tồn tại phương trình nên :

$\begin{aligned}(2) & \Leftrightarrow 2 \ln x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \ln x=-\frac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\end{aligned}$

Dạng 6: Áp dụng công thức tính đạo hàm

Đây là một dạng cực kỳ cơ bản, nhưng đòi hỏi các em phải nhớ các công thức tính đạo hàm. Một mẹo khi giải quyết bài tập là các em nên rút gọn hàm số phức tạp để có thể tiến hành tính đạo hàm của hàm số một cách dễ dàng nhất.

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số dưới đây

a, $y=x^3-2 x^2+3 x+4$

b, $y=\sin x-\cos x+\tan x$

c, $y=x^4+2 \sqrt{x}$

d, $y=\cot x-3 x+2$

Giải

$a, y=x^3-2 x^2+3 x+4$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=\left(x^3-2 x^2+3 x+4\right)^{\prime}=3 x^2+4 x+3$

$b, y=\sin x-\cos x+\tan x$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=(\sin x-\cos x+\tan x)^{\prime}=\cos x+\sin x+1 / \cos ^2 x$

$c, y=x^4+2 \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=\left(x^4+2 \sqrt{x}\right)^{\prime}=4 x^3+1 / \sqrt{x}$

$d, y=\cot x-3 x+2$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=(\cot x-3 x+2)^{\prime}=-\left(1 / \sin ^2 x\right)-3$

Dạng 7: Tính đạo hàm cao cấp

Đây là dạng tính đạo hàm cấp 2 trở nên và các em cần áp dụng các công thức tính đạo hàm cao cấp để giải. Thường đây sẽ là câu hỏi khó dành để phân loại học sinh khá giỏi trong bài kiểm tra hoặc bài thi đại học.

Như vậy, toàn bộ bài viết trên Admin đã cung cấp đầy đủ và trọn vẹn công thức đạo hàm để các em nắm được. Không những vậy Admin còn phân tích về các dạng bài thường gặp liên quan đến đạo hàm. Hy vọng chúng bổ ích và giúp các em tính toán dễ dàng hơn.