/

/

Công thức đạo hàm toán 12. Nắm trọn công thức đầy đủ và chi tiết

Admin FQA

13/01/2023, 15:57

5812

Công thức đạo hàm không chỉ nhiều mà còn khó nhớ. Vì vậy trong bài viết này Admin sẽ tổng hợp đầy đủ các kiến thức từ cơ bản đến nâng cao để giúp các em giải toán đạo hàm dễ dàng hơn. Cùng đi vào chuyên đề đạo hàm và công thức tính đạo hàm với chia sẻ dưới đây ngay nhé!

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm xlà giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số với số gia của đối số tại x0, khi số gia của đối số tiến dần về 0. Từ định nghĩa ta có:

Hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) và x0 ∊ (a;b)

$f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\left(\Delta x=x-x_0, \Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right.$

Định nghĩa đạo hàm

=> y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì nó liên tục tại điểm đó.

Một số quy tắc đạo hàm cơ bản mà các em cần nhớ như sau:

(c)'= 0 (Đạo hàm của hằng số luôn bằng 0)

  • $(u+v)^{\prime}=(u)^{\prime}+(v)^{\prime}$
  • $(u-v)^{\prime}=(u)^{\prime}-(v)^{\prime}$
  • $\left(\mathrm{u}_1+\mathrm{u}_2+\ldots+\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)^{\prime}=\left(\mathrm{u}_1\right)^{\prime}+\left(\mathrm{u}_2\right)^{\prime}+\ldots\left(\mathrm{u}_{\mathrm{n}}\right)^{\prime \prime}$
  • $\left(u_1-u_2-\ldots-u_n\right)^{\prime}=\left(u_1\right)^{\prime}-\left(u_2\right)^{\prime}-\ldots\left(u_n\right)^{\prime \prime}$
  • $(u \cdot v)^{\prime}=(u)^{\prime} \cdot v+(v)^{\prime} \cdot u$
  • $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v=v(x) \neq 0)$
  • Nếu $y=y[u(x)]=>y^{\prime}(x)=y^{\prime}(u) \cdot u^{\prime}(x)$

Các em cần các công thức đạo hàm cơ bản như sau:

  • $(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}$
  • $y_x^{\prime}=y_u^{\prime} \cdot u x$
  • $(u . v)^{\prime}=u^{\prime} . v+u^{\prime} v^{\prime}$
  • $(\mathrm{k} . \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{k} . \mathrm{u}^{\prime}$
  • $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}$
  • $\left(\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{k} \cdot \mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$

Để giúp các em có thể nắm bắt trọn vẹn các công thức đạo hàm từ sơ cấp, cho đến cao cấp và cả đạo hàm lượng giác, Admin sẽ chia sẻ bảng công thức đầy đủ và chi tiết dưới đây:

Công thức đạo hàm sơ cấp, thường gặp
 

  • $(C)^{\prime}=0$
  • $\left(x^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot x^{\alpha-1}$ với $\alpha \in R$
  • $(\sqrt{x})=\frac{1}{2 \sqrt{x}}$
  • $\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$
  • $(\sqrt[n]{x})^{\prime}=\frac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}} n \in N^*, n>1$
  • $(\sin \sin x)^{\prime}=\cos \cos x$
  • $(\cos \cos x)^{\prime}=-\sin \sin x$
  • $(\tan \tan x)^{\prime}=1+x=\frac{1}{x}$
  • $(x)^{\prime}=-(1+x)=-\frac{1}{x}$
  • $\left(e^x\right)’=e^x$
  • $\left(e^u\right)’=u \cdot e^u$
  • $(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$
  • $(\ln u)^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{u}$
  • $\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2}$
  • $\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| \cdot x^2+2\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$
  • $\left(\mathrm{u}^\alpha\right)^{\prime}=\alpha \cdot \mathrm{u}^{\alpha-1} \cdot \mathrm{u}^{\prime} \quad$ với $\alpha \in \mathrm{R}$
  • $(\sqrt{\mathrm{u}})^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{2 \sqrt{\mathrm{u}}} ; \quad\left(\frac{1}{\mathrm{u}}\right)^{\prime}=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u}^2}$
  • $(\sqrt[n]{u})^{\prime}=\frac{u^{\prime}}{n \sqrt[n]{u^{n-1}}} \quad n \in N^*, n>1$
  • $(\operatorname{Sin} \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{u}^{\prime} \cdot \operatorname{Cos} \mathrm{u}$;
  • $(\operatorname{Cos} \mathrm{u})^{\prime}=-\mathrm{u}^{\prime} \cdot \operatorname{Sin} \mathrm{u}$
  • $(\tan \mathrm{u})^{\prime}=\mathrm{u}^{\prime} \cdot\left(1+\tan ^2 \mathrm{u}\right)=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\operatorname{Cos}^2 \mathrm{u}}$
  • $(\operatorname{Cot} \mathrm{u})^{\prime}=-\mathrm{u}^{\prime} \cdot\left(1+\operatorname{Cot}^2 \mathrm{u}\right)=-\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\operatorname{Sin}^2 \mathrm{u}}$
  • $\left(a^x\right)^{\prime}=a^x \cdot \ln a$
  • $\left(a^u\right)^{\prime}=u^{\prime} \cdot a^u \cdot \ln a$
  • $\left(\log _a x\right)^{\prime}=\frac{1}{x \ln a}$
  • $\left(\log _{\mathrm{a}} \mathrm{u}\right)^{\prime}=\frac{\mathrm{u}^{\prime}}{\mathrm{u} \cdot \ln \mathrm{a}}$
  • $\left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)^{\prime}=\frac{a e x^2+2 a f . x+(b f-c e)}{(e x+f)^2}
     

Công thức đạo hàm cao cấp

  • $\left(x^m\right)^{(n)}=m(m-1)(m-2)(m-n+1) x^{m-n} n$ ếu $m \geq n$
  • $\left(x^{m)^{(n)}}=0\right.$ nếu $m<n$
  • $\left(\log _a x\right)^{(n)}=(-1)^{n-1} \frac{(n-1) !}{\ln a} \frac{1}{x^n}$
  • $(\ln x)^{(n)}=(-1)^{n-1} \cdot(n-1) ! \cdot x^{-n}$
  • $\left(e^{k x}\right)^{(n)}=k^n e^{k x}$
  • $\left(a^x\right)^{(n)}=(\ln a)^n a^x$
  • $(\sin \sin a x)^{(n)}=a^n \operatorname{Sin}\left(a x+n \frac{\pi}{2}\right)$
  • $(\cos \cos a x)^{(n)}=a^n \cos \left(a x+n \frac{\pi}{2}\right)$
  • $\left(\frac{1}{a x+b}\right)^{(n)}=(-1)^n a^n n ! \frac{1}{(a x+b)^{n+1}}$

Công thức đạo hàm lượng giác

  • $(\sin (x))^{\prime}=\cos (x)$
  • $(\cos (x))^{\prime}=-\sin (x)$
  • $(\tan \tan (x))^{\prime}=\left(\frac{\sin \sin (x)}{\cos \cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\cos ^2(x)+\sin ^2(x)}{\cos ^2(x)}=\frac{1}{\cos ^2(x)}=\sec ^2(x)$
  • $(\cot \cot (x))^{\prime}=\left(\frac{\cos \cos (x)}{\sin \sin (x)}\right)^{\prime}=\frac{-\sin ^2(x)-\cos ^2(x)}{\sin ^2(x)}=-\left(1+\cot ^2(x)\right)=-\csc ^2(x)$
  • $(\sec \sec (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos \cos (x)}\right)^{\prime}=\frac{\sin (x)}{\cos ^2(x)}=\frac{1}{\cos (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}=\sec (x) \tan (x)$
  • $(\csc \csc (x))^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin \sin (x)}\right)^{\prime}=\frac{\cos (x)}{\sin ^2(x)}=-\frac{1}{\sin \sin (x)} \frac{\cos \cos (x)}{\sin \sin (x)}=-\csc (x) \cot (x)$
  • $(\arcsin \arcsin (x))^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

Một số phân thức hữu tỉ cơ bản thường gặp và đạo hàm của chúng

  • $y^{\prime}=\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^2}=\frac{\left|\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right|}{(c x+d)^2}$
  • $y^{\prime}=\left(\frac{a x^2+b x+c}{e x+f}\right)=\frac{a e x^2+2 a f+(b f-c e)}{(e x+f)^2}$
  • $y^{\prime}=\left(\frac{a_1 x^2+b_1 x+c_1}{a_2 x^2+b_2 x+c_2}\right)=\frac{\left|\begin{array}{ll}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2\end{array}\right| x^2+\left|\begin{array}{ll}a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2\end{array}\right| x+\left|\begin{array}{ll}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2\end{array}\right|}{\left(a_2 x^2+b_2 x+c_2\right)^2}$

Trong quá trình làm và giải bài tập về đạo hàm các em sẽ gặp rất nhiều các dạng bài khác nhau. Admin đã tổng hợp và gửi đến các em các dạng phổ biến hay gặp nhất kèm cách giải và ví dụ minh họa.

Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa

Sử dụng định nghĩa để tính đạo hàm của hàm số là dạng cơ bản nhất của giải tích. Các em chỉ cần nhớ định nghĩa và áp dụng nó vào bài là có thể tìm ra đáp án chuẩn xác.

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số $f(x)=2 x^3+1$ tại $x=2$

Giải

Ta có $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{2 x^3-16}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} 2\left(x^2+2 x+4\right)=24$ :

$\Rightarrow f^{\prime}(2)=24$

Dạng 2: Chứng minh các đẳng thức bằng đạo hàm

Đây là dạng bài mà các em cần phải chú trọng vào chứng minh một hệ thức thông qua điều kiện được đề bài cho sẵn. Muốn ra kết quả cuối cùng, các em cần có kỹ năng chứng minh và tính toán chính xác.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y=e^{-x} \cdot \sin x$, chứng minh hệ thức $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=0$

Giải

Ta có $\mathrm{y}^{\prime}=-\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \cdot \sin \mathrm{x}+\mathrm{e}^{-\mathrm{x}} \cdot \cos \mathrm{x}$

$y^{\prime}=-e^{-x} \cdot \sin x+e-x \cdot \cos x$

$y^{\prime \prime}=e^{-x} \cdot \sin x-e^{-x} \cdot \cos x-e^{-x} \cdot \cos x-e^{-x} \cdot \sin x=-2 e^{-x} \cdot \cos x$

Vậy $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=-2 \cdot e^{-x} \cdot \cos x--2 \cdot e^{-x} \cdot \sin x+2 \cdot e^{-x} \cdot \cos x+2 \cdot e^{-x} \cdot \sin x=0$

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Dạng viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm rất hay gặp. Thường đề bài sẽ cho cụ thể phương trình tiếp tuyến của hàm số trên độ thì cong (C): y = f(x) tại tiếp điểm M (x0; y0) và $y=y^{\prime}\left(x_0\right) \cdot\left(x-x_0\right)+y_0$

Ví dụ 3: Cho một hàm số $y=x^3+3 \cdot m \cdot x^2+(m+1) \cdot x+1$ với m là một tham số thực. Tìm giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số y tại điểm có hoành độ x = -1 và đi qua điểm A(1;2)

Giải

Ta có: $y^{\prime}=f^{\prime}(x)=3.2+6 \cdot m \cdot x+m+1$

Với $x_0=-1=>y_0=2 . m-1$ và $f^{\prime}(-1)=-5 m+4$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $\mathrm{M}(-1 ; 2 . \mathrm{m}-1)$ là:

$y=(-5 \cdot m+4) \cdot(x+1)+2 \cdot m-1$

Theo đề bài ta có điểm A (1;2) nằm trên tiếp tuyến của đồ thị hàm số y, nên ta có:

$\begin{aligned} & y=(-5 \cdot m+4) \cdot(x+1)+2 \cdot m-1 \\ & \Leftrightarrow(-5 \cdot m+4) \cdot 2+2 \cdot m-1=2 \\ & \Leftrightarrow m=5 / 8\end{aligned}$

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc

Đây cũng là một dạng mà các em cần vận dụng công thức đạo hàm vào tính toán để tìm ra kết quả chuẩn xác. Khi đề bài cho một hàm số y = f(x) biết hệ số góc là k cho trước. Lúc này các em sẽ cần gọi $M\left(x_0 ; y_0\right)$ là tiếp điểm thì khi đó các em cần tính y’ = y’($x_0$). Khi đó, phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k với y’ = ($x_0$) = k(i) là:

$x_0$ => $y_0$ = $f\left(x_0\right)$ => Phương trình tiếp tuyến ∆: $y=k \cdot\left(x-x_0\right)+y_0$

Với hệ số góc $k=y^{\prime}\left(x_0\right)$, lúc này các em cần cần nhớ thêm các kiểu gián tiếp như sau:

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta / / d: y=a x+b \Rightarrow k=a$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta \perp d: y=a x+b \Rightarrow k=-\frac{1}{a}$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tạo với trục hoành góc $\alpha \Rightarrow|k|=\tan \alpha$

- Phương trình tiếp tuyến $\Delta$ tạo với $d: y=a x+b$ góc $\alpha \Rightarrow\left|\frac{k-a}{1+k \cdot a}\right|=\tan \alpha$.

Ví dụ 4: Cho đồ thị (C) có hàm số $y=x^3-3.x^2+9x-5$. Hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất trong các tiếp tuyến của đồ thị trên.

Giải

$\text {ТХĐ :} D=R \text {. }$

Ta có

$$\begin{aligned}& y^{\prime}=3 x^2-6 x+9 \Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)=3 x_0^2-6 x_0+9=3\left(x_0^2-2 x_0+1\right)+6=3\left(x_0-1\right)^2+6 \\& \geq 6 \\& \Rightarrow y^{\prime}\left(x_0\right)_{\min }=6 \Leftrightarrow x_0=1 \Rightarrow y_0=2\end{aligned}$$

Do đó phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất là $y=6(x-1)+2=6 x-4$.

Dạng 5: Phương trình và bất phương trình có đạo hàm

Đây là dạng toán mà các em sẽ phải kết hợp nhiều công thức đạo hàm với nhau để có thể tính toán và tìm ra kết quả. Vì vậy, các em cần nhớ tất cả các công thức đạo hàm cơ bản mới có thể giải được dạng toán này nhé!

Ví dụ 5: Cho hàm số$f(x)=x^3 \cdot \ln x$, hãy giải phương trình: $f^{\prime}(x)$ - $\frac{1}{x.f(x)}$ = 0 (1)

Giải

$\begin{aligned} & \text { Ta có } f(x)=3 x^2 \ln x+x^3 \cdot \frac{1}{x}=3 x^2 \ln x+x^2 \\ & \begin{aligned} \text { Vậy (1) } & \Leftrightarrow 3 x^2 \ln x+x^2-x^2 \ln x=0 \\ & \Leftrightarrow 2 x^2 \ln x+x^2=0 \\ & \Leftrightarrow x^2(2 \ln x+1)=0\end{aligned}\end{aligned}$ (2)

Rõ ràng $x>0$ là điều kiện tồn tại phương trình nên :

$\begin{aligned}(2) & \Leftrightarrow 2 \ln x+1=0 \\ & \Leftrightarrow \ln x=-\frac{1}{2} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{e}}\end{aligned}$

Dạng 6: Áp dụng công thức tính đạo hàm

Đây là một dạng cực kỳ cơ bản, nhưng đòi hỏi các em phải nhớ các công thức tính đạo hàm. Một mẹo khi giải quyết bài tập là các em nên rút gọn hàm số phức tạp để có thể tiến hành tính đạo hàm của hàm số một cách dễ dàng nhất.

Ví dụ 6: Tính đạo hàm của các hàm số dưới đây

a, $y=x^3-2 x^2+3 x+4$

b, $y=\sin x-\cos x+\tan x$

c, $y=x^4+2 \sqrt{x}$

d, $y=\cot x-3 x+2$

Giải

$a, y=x^3-2 x^2+3 x+4$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=\left(x^3-2 x^2+3 x+4\right)^{\prime}=3 x^2+4 x+3$

$b, y=\sin x-\cos x+\tan x$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=(\sin x-\cos x+\tan x)^{\prime}=\cos x+\sin x+1 / \cos ^2 x$

$c, y=x^4+2 \sqrt{x}$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=\left(x^4+2 \sqrt{x}\right)^{\prime}=4 x^3+1 / \sqrt{x}$

$d, y=\cot x-3 x+2$

$\Leftrightarrow y^{\prime}=(\cot x-3 x+2)^{\prime}=-\left(1 / \sin ^2 x\right)-3$

Dạng 7: Tính đạo hàm cao cấp

Đây là dạng tính đạo hàm cấp 2 trở nên và các em cần áp dụng các công thức tính đạo hàm cao cấp để giải. Thường đây sẽ là câu hỏi khó dành để phân loại học sinh khá giỏi trong bài kiểm tra hoặc bài thi đại học.

Như vậy, toàn bộ bài viết trên Admin đã cung cấp đầy đủ và trọn vẹn công thức đạo hàm để các em nắm được. Không những vậy Admin còn phân tích về các dạng bài thường gặp liên quan đến đạo hàm. Hy vọng chúng bổ ích và giúp các em tính toán dễ dàng hơn.

Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bài viết liên quan
new
Tan chảy với các câu thả thính bằng tiếng Anh

Bạn muốn thả thính CRUSH bằng những câu tiếng Anh cực chất khiến nàng đổ gục và cảm thấy ngây ngất. Nhưng bạn lo lắng mình sẽ gặp một số lỗi khi viết tiếng Anh. Để giúp bạn không phải lo lắng về vấn đề này thì dưới đây sẽ là những câu thả bằng tiếng Anh làm tan chảy trái tim CRUSH. Do đó bạn có thể thoải mái lựa chọn câu nào mình thích nhất để tặng người thương thầm nhớ trộm.

Admin FQA

23/07/2024

new
Các cấu trúc và quy tắc cần nắm khi sử dụng "Dispite"

Cấu trúc "despite" trong tiếng Anh được sử dụng để chỉ sự tương phản giữa các ý trong câu. Tuy nhiên, cái mà theo sau "despite" thường làm cho nhiều sinh viên lẫn lộn vì có nhiều cấu trúc ngữ pháp tương tự.

Admin FQA

23/07/2024

new
Tổng hợp các công thức ngữ pháp với would rather

Khi bạn muốn thể hiện các mong muốn, sở thích của bản thân trong tiếng Anh mà không muốn sử dụng I like, I want thì cấu trúc would rather là một gợi ý cho bạn. Cấu trúc này có cách sử dụng khác nhau tùy thuộc vào các thì trong câu. Vậy bạn đã biết công thức và cách sử dụng cấu trúc này chưa? Theo dõi bài viết ngay để cùng Langmaster giải đáp tất tần tật mọi thứ về cấu trúc would rather bạn nhé!

Admin FQA

23/07/2024

new
Cách ghi nhớ một cách hiệu quả quy tắc trật tự tính từ osascomp trong tiếng Anh

Trật tự tính từ trong tiếng Anh là quy định thứ tự của các tính từ trong cùng một cụm danh từ. Trật tự tính từ trong tiếng Anh được sắp xếp theo quy tắc OSASCOMP như sau: Opinion → Size → Age → Shape → Color → Origin → Material → Purpose.

Admin FQA

23/07/2024

new
Learn và Study: Sự khác biệt giữa learn và study

Learn và Study là hai từ vựng quen thuộc đối với tất cả người học Tiếng Anh, dù cho bạn mới theo học những lớp cơ bản hay thậm chí là nâng cao. Dù hai từ này đều mang ý nghĩa “học tập”, nhưng Study và Learn lại có cách dùng khác nhau tùy vào từng ngữ cảnh nhất định. Chính vì vậy, đôi khi điều này sẽ khiến các bạn bối rối và không biết áp dụng thế nào vào bài làm. Vậy Learn là gì? Study là gì? Hai từ này có sự khác biệt như thế nào và được áp dụng ra sao? Bài viết này sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn nhé!

Admin FQA

23/07/2024

new
Cung hoàng đạo nào học giỏi tiếng Anh nhất?

Mỗi cung hoàng đạo đều có sự nổi trội về đặc điểm và tính cách. Điều này ảnh hưởng ít nhiều đến khả năng học tập và làm việc của họ. Cung nào học giỏi tiếng Anh nhất là điều mà nhiều người thắc mắc để biết mình có năng khiếu với môn học này không. Tìm hiểu chi tiết về đặc trưng của từng cung hoàng đạo sẽ giúp bạn có lời giải đáp.

Admin FQA

23/07/2024

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi