Xin giới thiệu các dạng bài tập liên quan đến phương trình tiếp tuyến!

Phương trình tiếp tuyến là một công thức cho một đường thẳng tiếp tuyến với một đồ thị hình học. Phương trình tiếp tuyến có nhiều ứng dụng trong toán học và khoa học tự nhiên. Nó được sử dụng để tìm điểm tiếp xúc của hai đường cong hoặc để tìm điểm cực đại hoặc cực tiểu của hàm số. Trong giải tích hình học, phương trình tiếp tuyến được sử dụng để tìm đường tiếp tuyến của một đồ thị hình học và để tìm đạo hàm của một hàm số.

Vậy nên việc nắm rõ kiến thức cũng như áp dụng để giải các bài tập về phương trình tiếp tuyến rất quan trọng. Trong bài chia sẻ dưới đây, Admin sẽ giới thiệu đến các em những dạng bài tập liên quan đến phương trình tiếp tuyến!

Nhắc lại kiến thức về phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến có dạng y = mx + b. Trong đó: m là độ dốc của đường thẳng, x và y là tọa độ trên trục hoành và trục tung, và b là hằng số.

Phương trình tiếp tuyến có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng hai điểm của đường thẳng, hoặc bằng cách sử dụng độ dốc và một điểm trên đường thẳng.

Phương trình tiếp tuyến là gì?

Phương trình tiếp tuyến còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như khoa học môi trường, cơ học và khoa học vật lý. Ví dụ, trong khoa học môi trường, phương trình tiếp tuyến có thể được sử dụng để xác định dòng chảy của một chất lỏng hoặc để tính toán lượng nhiệt được chuyển đổi trong một hệ thống.

Các dạng bài tập liên quan đến phương trình tiếp tuyến!

Hiện nay, phương trình tiếp tuyến đường tròn thường sẽ chia là 3 dạng đề. Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị của hàm số là (C). Các câu hỏi liên quan đến hàm số bao gồm:

Phương trình tiếp tuyến đồ thị có những dạng bài tập nào?

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại M(x₀; y₀)

Để giải dạng bài tập này, các em có thể làm theo những bước sau: 

• Bước 1. Tính y’= f’(x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y’(x0)
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(x₀; y₀) có dạng

y - y0 = f'(x₀).(x - x₀).

Với dạng đề này, các em cần chú ý những điểm sau: 

• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x₀ thì khi đó ta tìm  y₀ bằng cách thế vào hàm số ban đầu, tức y₀ = f(x₀). Nếu đề cho y₀ ta thay vào hàm số để giải ra x₀.
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị (C): y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm giữa d và (C)

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước

Với những dạng bài đã có hệ số góc k trước, các em sẽ làm theo 3 bước: 

• Bước 1. Gọi M (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y' = f'(x).
• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f'(x₀). Giải phương trình này tìm được x0; thay vào hàm số được y₀- Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng: d: y – y₀ = f'(x₀).(x - x₀)

Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

1. Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a.
2. Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a.
3. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ± tanα

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A)

Dạng bài tập này các em có thể áp dụng 2 cách giải khác nhau. Cụ thể:

Cách 1

• Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A) hệ số góc k có dạng: d: y = k(x - x_A) + y_A (*)
• Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

$\left\{\begin{array}{l}f(x)=k\left(x-x_A\right)+y_A \\ f^{\prime}(x)=k\end{array}\right.$

• Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2

• Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀)) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x₀) = f'(x₀) theo x0.
• Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'(x₀).(x – x₀) + y0 (**). Do điểm A(x_A; y_A) d nên y_A = y'(x₀).(x_A- x0) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0.
• Bước 3. Thế x0 vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Một số bài tập áp dụng

Câu 1: Cho hàm số y= (2x - 1)/(x + 1), viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2. 

=> Lời giải: 

Ta có y' = 3/(x + 1)2 ; y'(2) = 1/3; y(2) = 1

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 2 là:

y = ⅓ (x-2) + 1 = ⅓ x +⅓ 

Câu 2. Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = $\sqrt{(x+2) }$ tại điểm có tung độ bằng 2?

=> Lời giải:

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(xo, yo). 

Có $\sqrt{\left(x_0+2\right) }$ = 2 ⇔ x₀ = 2

Có y' = 1/(2$\sqrt{(x+2) }$) ; y'(₀) = 1/4. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

y = (1/4)(x-2) + 2 = (1/4)x + 3/2 hay x - 4y + 6 = 0.

Câu 3. Phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = x3 - 4 đi qua điểm A(2; 4) 

=> Lời giải: 

Ta có y' = 3x² . Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng: y = 3x₀²(x - x₀) + x₀³ - 4

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(2; 4) nên ta có:

4 = 3x₀²(2 - x₀) + x₀³ - 4

⇔ -2x₀³ + 6x₀² - 8 = 0

⇔ x₀ = -1 hoặc x₀ = 2

Thay x₀ = -1 => y(x₀) = -5, y’(x₀) = 3

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3x - 2 

Thay x₀ = 2 => y(x₀) = 4, y’(x₀) = 12

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 12x - 20

Câu 4. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x² + 1 vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0 có phương trình là gì?

=> Lời giải:

Đường thẳng x - 3y = 0 hay y = 1/3x. Có y' = 3x² - 6x

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x - 3y = 0 nên 3x_c² -6x₀ = -3 ⇔ x₀ = 1

Với x₀ = 1; y(1) = -1; y'(1) = -3. Phương trình cần tìm là:

y = -3(x - 1) - 1 = -3x + 2

Câu 5. Cho hàm số y = x³ - 3x² + 1 (C). Ba tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) và đường thẳng d:y = x - 2 có tổng hệ số góc bằng bao nhiêu?

=> Lời giải:

Ta có y'=3x² -6x

Phương trình hoành độ giao điểm:

x³ - 3x² + 1 = x - 2

⇔ x = -1 hoặc x = 3, hoặc x = 1

Tổng y'(-1) + y'(1) + y'(1) = 9 + 9 - 3 = 15

Câu 6. Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 2x² song song với đường thẳng y = x?

=> Lời giải:

Ta có y^'=-3x² +4x

Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=x nên 

y'(x₀) = 1

⇔ x₀ = 1, hoặc x₀ = ⅓ 

Với x₀ = 1; y(1) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x (loại)

Với x₀ = 1/3; y(1) = 5/27. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = x - 4/27 (thỏa mãn)

Vậy, có 1  tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x³ + 2x² song song với đường thẳng y = x

Câu 7. Cho hàm số y = -x³ + 6x² + 3x + 3 có đồ thị (C). Trong các tiếp tuyến của (C), tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất có phương trình là gì?

=> Lời giải:

Ta có:

 y' = -3x² + 12x + 3 

= -3(x² - 4x - 1) 

= -3[(x - 2)² - 5] ≤ 15

Hệ số góc lớn nhất là y' = 15. Dấu bằng xảy ra khi x = 2, khi đó y = 25

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 15(x - 2) + 25 = 15x - 5

Câu 8. Cho hàm số y = -x³ + 3x - 2 có đồ thị (C). Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành có phương trình là gì?

=> Lời giải:

Ta có y'=-3x²+ 3

Phương trình hoành độ giao điểm:

 -x³ +3x-2=0 

⇔ x = -2 hoặc x - 1

Với x = -2; y(2) = 0; y'(2) = -9. 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -9x - 18

Với x = 1; y(2) = 0; y'(2) = 0. 

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 0

Câu 9. Cho hàm số y = x⁴ + (1/2)mx² + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm m.

=> Lời giải:

Ta có y' = 4x³ + mx

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m

Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3

Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên:

 (-4 - m).(1/3) = -1 

⇔ -4 - m = 3 

⇔ m = -1

Câu 10. Tìm m để (Cm): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

=> Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

x³ + 3x² + mx + 1 = 1 

⇔ x³ + 3x² + mx = 0

⇔ x(x³ + 3x + m) = 0

⇔ x= 0 hoặc x² + 3x + m (*)

Để (Cm): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

Vậy, △ > 0 và 0² +3.0 +m ≠ 0

⇔ 9 - 4m > 0 và m ≠ 0

⇔ m < 9/4 và m ≠ 0

Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x₁; 1); E(x₂; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét: x₁ + x₂ = -3 và x₁x₂ = m

Ta có y' = 3x² + 6x + m

Vì các tiếp tuyến với (Cm) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:

y'(x₁).y'(x₂)=-1

⇔ (3x₁² + 6x₁ + m)(3x₂² + 6x₂ + m) = -1

⇔ 9(x₁ x₂)² + 18x₁x₂(x₁ + x₂) + 3m[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂] + 36x₁x₂ + 6m(x₁ + x₂) + m² = -1

⇔ 9m² -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m² = -1

⇔ 4m2 -9m + 1 = 0 

⇔ m = (9 + $\sqrt{65}$)/8 hoặc m = (9 - $\sqrt{65}$)/8 

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + $\sqrt{65}$)/8 và m = (9 - $\sqrt{65}$)/8

Kết

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là phần kiến thức khá “khoai”. Muốn ăn trọn điểm ở phần này thì các em cần phải luyện tập thật nhiều. Hy vọng những chia sẻ của Admin sẽ giúp ích cho các bạn nhiều hơn khi ôn tập môn Toán lớp 12, để chuẩn bị cho các bài kiểm tra!

Chúc các em đạt điểm 10 môn Toán nhé!