Cho $△ A B C$ cân tại $A$ , I là tâm đường tròn nội tiếp, $K$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A, O$ là trung điểm của $I K$ .
1) Chứng minh 4 điểm $B, I, C, K$ cùng thuộc một đường tròn tâm $O$ .
2) Chứng minh $A C$ là tiếp tuyến của đường tròn tâm $(O)$ .
3) Tính bán kính của đường tròn $(O)$ , biết $A B = A C = 20 c m, B C = 24 c m$ .

Question

Cho

△ A B C

cân tại

A

, I là tâm đường tròn nội tiếp,

K

là tâm đường tròn bàng tiếp góc

A, O

là trung điểm của

I K

.
1) Chứng minh 4 điểm

B, I, C, K

cùng thuộc một đường tròn tâm

O

.
2) Chứng minh

A C

là tiếp tuyến của đường tròn tâm

(O)

.
3) Tính bán kính của đường tròn

(O)

, biết

A B = A C = 20 c m, B C = 24 c m

.

Accepted Answer

1) Theo giả thiết ta có:

\overset{⏜}{B_{1}} = \overset{⏜}{B_{2}}, \overset{⏜}{B_{3}} = \overset{⏜}{B_{4}}

\hat{B_{2}} + \hat{B_{3}} = 90^{\circ}

Tương tư

\overset{⏜}{C_{2}} + \overset{⏜}{C_{3}} = 90^{\circ}

Xét tứ giác

B I C K

có

\hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}

\Rightarrow 4

điểm

B, I, C, K

thuộc đường tròn tâm

O

đường kính

I K

.
2) Nối

C K

ta có

O I = O C = O K

(vì

Δ I C K

vuông tại

C) \Rightarrow Δ I O C

cân tại

O

\Rightarrow \hat{O I C} = \hat{I C O}

(1)
Ta lại có

\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} (g t)

. Gọi

H

là giao
điểm của

A I

với

B C

.
Ta có

A H ⟂ B C

. (Vì

△ A B C

cân tại

A)

.
Trong

Δ I H C

có

\hat{H I C} + \hat{I C H} = 90^{\circ} \Rightarrow \hat{O C I} + \hat{I C A} = 90^{\circ}

.
Hay

\hat{A C O} = 90^{\circ}

hay

A C

là tiếp tuyến của đường tròn tâm

(O)

.
3)

T a

có

B H = C H = 12 (c m)

.
Trong

Δ

vuông

A C H

có

{A H}^{2} = {A C}^{2} - {C H}^{2} = 20^{2} - 12^{2} = 256 \Rightarrow A H = 16

Trong tam giác

A C H, C I

là phân giác góc

C

ta có:

\frac{I A}{I H} = \frac{A C}{C H} \Rightarrow \frac{A H - I H}{I H} = \frac{A C}{C H} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \Rightarrow (16 - I H) \cdot 3 = 5 \cdot I H \Rightarrow I H = 6

Trong

Δ

vuông

I C H

có

{I C}^{2} = {I H}^{2} + {H C}^{2} = 6^{2} + 12^{2} = 180

Trong

Δ

vuông ICK có

{I C}^{2} = I H

. IK

\Rightarrow I K = \frac{{I C}^{2}}{I H} = \frac{180}{6} = 30, O I = O K = O C = 15 (c m)