Chứng tỏ rằng có thể tìm được nhiều số tự nhiên chỉ gồm chữ số 1 và chữ số 0 chia hết cho 1999

Xét dãy số: $1;11;\dots \dots \dots ;\underset{1999cs}{\underbrace{11\dots 11}}$
Dãy số trên có 1999 chữ số $\Rightarrow$ chỉ có hai trường hợp xảy ra
Có ít nhất một số chia hết cho 1999. Giả sử số đó là:11...11 (n chữ số) $\Rightarrow 11\dots 10$ ($n+1$ chữ số) cũng chia hết cho $1999\Rightarrow$ Khẳng định đề bài cho là đúng.
Trong đó không có số nào chia hết cho $1999\Rightarrow$ phải tồn tại ít nhất hai số có cùng số dư trong phép chia cho $1999\Rightarrow$ Hiệu hai số này là một số chỉ gồm toàn chữ số 0 và chữ số 1 chia hết cho 1999. Lý luận tương tự như trên ta có khẳng định đề bài cho là đúng.