chứng minh rằng 21n+1/12n+1 với mọi số tự nhiên n là phân số tối giản

Để chứng minh rằng 21n+1/12n+1 là phân số tối giản, ta cần chứng minh rằng 21n+1 và 12n+1 không có ước chung nào ngoài 1. Giả sử rằng tồn tại một số nguyên dương k lớn hơn 1 sao cho k là ước chung của cả hai số 21n+1 và 12n+1. Ta có thể viết: 21n+1 = kx 12n+1 = ky Trong đó x và y là các số nguyên dương. Từ phương trình đầu tiên, ta suy ra: 21n = kx - 1 Thay vào phương trình thứ hai, ta được: 12n+1 = ky 12n+1 = k(kx - 1)/21 Điều này cho thấy rằng k là ước chung của 12n+1 và 21, vì 21 là số nguyên tố và không chia hết cho bất kỳ số nguyên tố nào khác ngoài 1. Tuy nhiên, ta cũng có thể viết lại phương trình đầu tiên thành: 21n+1 = 21 x 21n Vì vậy, 21n+1 chia hết cho 21. Từ đó, ta suy ra rằng k cũng phải chia hết cho 21. Nhưng điều này là không thể, vì 12n+1 và 21 không có ước chung nào khác ngoài 1. Do đó, giả thiết ban đầu là sai và phân số 21n+1/12n+1 là phân số tối giản.