Để giải quyết bài toán này, ta cần vẽ một bản đồ như sau:
![]()
Gọi $x$ là khoảng cách từ điểm K đến điểm A, $y$ là khoảng cách từ điểm K đến điểm B, $d$ là khoảng cách từ điểm A đến điểm B.
Ta có các phương trình sau:
$\begin{cases} \tan 15^\circ = \dfrac{y}{x} \\ \tan 50^\circ = \dfrac{d}{x+y} \end{cases}$
Từ phương trình thứ nhất, ta suy ra $y = x \tan 15^\circ$.
Thay vào phương trình thứ hai, ta được:
$\tan 50^\circ = \dfrac{d}{x + x\tan 15^\circ}$
$\Rightarrow d = x(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)$
Để tính được giá trị của $x$, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác IAK:
$380^2 = x^2 + AK^2 - 2x \cdot AK \cdot \cos 90^\circ$
Do $\cos 90^\circ = 0$, nên ta có:
$380^2 = x^2 + AK^2$
Tương tự, ta sử dụng định lý cosin trong tam giác ABK:
$y^2 = AK^2 + (d-x)^2 - 2AK \cdot (d-x) \cdot \cos 65^\circ$
Do $\cos 65^\circ \approx 0.4226$, nên ta có:
$y^2 = AK^2 + (d-x)^2 - 0.8452AK(d-x)$
Kết hợp hai phương trình trên, ta được:
$\begin{cases} 380^2 = x^2 + AK^2 \\ y^2 = AK^2 + (d-x)^2 - 0.8452AK(d-x) \end{cases}$
Thay $y = x \tan 15^\circ$ và $d = x(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)$ vào phương trình thứ hai, ta có:
$x^2 \tan^2 15^\circ = AK^2 + (x(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ) - x)^2 - 0.8452AK(x(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ) - x)$
Simplify:
$x^2 \tan^2 15^\circ = AK^2 + x^2 (\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)^2 - 0.8452AKx(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)$
Đưa các thành phần chứa $x$ về cùng một vế, ta được:
$(\tan^2 15^\circ - (\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)^2)x^2 + 0.8452AK(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)x - AK^2 \tan^2 15^\circ = 0$
Giải phương trình bậc hai này, ta được:
$x \approx 137.8 \text{ m}$
Thay $x$ vào phương trình $d = x(\tan 50^\circ - \tan 15^\circ)$, ta có:
$d \approx 1,067.5 \text{ m}$
Vậy khoảng cách hai chiếc thuyền là khoảng 1,067.5 mét.