Cho số phức z thỏa mãn |z| =1. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=|z+1|+|z² −z+1|. Giá trị của M.m bằng

Để giải bài toán này, ta sử dụng tính chất: Nếu |z|=1 thì z có thể được biểu diễn dưới dạng z=cosθ+isinθ với θ là một số thực. Áp dụng tính chất này, ta có thể viết z dưới dạng z=cosθ+isinθ, với θ là một số thực. Ta có: |z+1|=|(cosθ+1)+isinθ|=√[(cosθ+1)²+sin²θ]=√[cos²θ+2cosθ+1+sin²θ]=√(2cosθ+2) |z² −z+1|=|cos²θ+isin²θ−cosθ−isinθ+1|=|cos²θ+sin²θ−cosθ−1|=|−cosθ−1|=|cosθ+1| Vậy, ta có: P=|z+1|+|z² −z+1|=√(2cosθ+2)+|cosθ+1| Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P, ta sẽ tìm đạo hàm của P theo θ và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Ta có: P'=−(sinθ/√(2cosθ+2))+sinθ/(cosθ+1)² Giải phương trình P'=0, ta được cosθ=−1/3 hoặc cosθ=1. Khi cosθ=−1/3, ta có sinθ=2√2/3. Khi cosθ=1, ta có sinθ=0. Vậy, giá trị lớn nhất của P là Pmax=P(θ=arccos(−1/3))=√(2/3−2√2/3+2)+|−1/3+1|=2+1/3=7/3. Giá trị nhỏ nhất của P là Pmin=P(θ=arccos(1))=√(2+2)+|1+1|=4+2=6. Vậy, M.m=7/3.6=14/9.