Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh $0< P< 1$, ta cần chứng minh $P>0$ và $P< 1$.
- Để chứng minh $P>0$, ta cần chứng minh $x>\sqrt{x+1}$ vì mẫu số của $P$ là $x-\sqrt{x+1}$. Ta có:
$x>\sqrt{x+1} \Leftrightarrow x^2>x+1 \Leftrightarrow x^2-x-1>0$
Phương trình bậc hai $x^2-x-1=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và $x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Vì $x\geq0$ nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm $x_1$. Do đó, ta có $x^2-x-1>0$ với mọi $x\geq x_1$. Vì $x\geq9$ nên $x>x_1$ và $x^2-x-1>0$. Do đó, $P=\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x+1}}>0$.
- Để chứng minh $P< 1$, ta cần chứng minh $\sqrt{x+1}>x-1$ vì tử số của $P$ là $\sqrt{x}$. Ta có:
$\sqrt{x+1}>x-1 \Leftrightarrow x+1>x^2-2x+1 \Leftrightarrow x^2-x< 0$
Phương trình bậc hai $x^2-x=0$ có hai nghiệm phân biệt là $x_1=0$ và $x_2=1$. Vì $x\geq0$ nên ta chỉ quan tâm đến nghiệm $x_2$. Do đó, ta có $x^2-x< 0$ với mọi $0\leq x< x_2$. Vì $x\geq9$ nên $x\geq x_2$ và $x^2-x\geq0$. Do đó, $\sqrt{x+1}>x-1$ và $P=\frac{\sqrt{x}}{x-\sqrt{x+1}}< \frac{\sqrt{x}}{x-(x-1)}=1$.
Vậy ta đã chứng minh được $0< P< 1$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.