cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ AH vuông góc BC tại H, HN vuông góc với AC tại N , AB=15cm, AC=20cm a) Chứng minh tam giác AMN đồng dạng với tam giác ACB b) Tính diện tích tam giác AMN

a) Ta có $\angle BAC = 90^{\circ}$ và $\angle HAN = 90^{\circ}$ nên $AH \parallel BC$. Do đó, ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ $\Rightarrow \frac{AM}{15}=\frac{AN}{20}$ $\Rightarrow AM=\frac{3}{4}AN$ Từ đó suy ra: $\frac{AM}{AC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{AN}{AC}=\frac{3}{4}\cdot\frac{AM}{AB}$ Do đó, tam giác $AMN$ đồng dạng với tam giác $ACB$ theo định lý tỉ số bảo toàn. b) Ta có $AH=\frac{BC\cdot AB}{AC}=9$ (cm). Từ đó, ta có: $AN=AC-HN=AC-\frac{AH\cdot AC}{AB}=16$ Do đó, diện tích tam giác $AMN$ là: $S_{AMN}=\frac{1}{2}\cdot AM\cdot AN=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}AN\cdot AN=\frac{9}{32}AN^2=\frac{9}{32}\cdot 16^2=72$ Vậy diện tích tam giác $AMN$ là $72$ cm$^2$.