Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.

Theo mình hiểu đề bài đúng sẽ là:

Tìm số tự nhiên n sao cho 1^n + 2^n + 3^n + 4^n chia hết cho 5

Trong trường hợp này bài toán sẽ được giải như sau:

Do n là số tự nhiên nên có hai trường hợp chính: n=2k và n=2k+1, k là số tự nhiên

Xét trường hợp n=2k+1

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ suy rộng cho a^q+b^q với q là số tự nhiên lẻ, ta suy ra được

a^q + b^q chia hết cho a+b

áp dụng tính chất này, với mọi n=2k+1:

1^n + 4^n chia hết cho 5

2^n + 3^n chia hết cho 5

Do đó n=2k+1 là một đáp số của bài toán đã cho, với k là số tự nhiên

Xét trường hợp n=2k, ở đây tiếp tục chia ra làm 2 trường hợp nhỏ:

Trường hợp 1: k=2j+1, khi đó ta có k là số tự nhiên lẻ với mọi j là số tự nhiên

Khi đó biểu thức ban đầu trở thành: 1^k+4^k+9^k+16^k

Áp dụng tính chất từ hẳng đẳng thức đáng nhớ suy rộng kể trên cho k là số lẻ, ta có

1^k + 9^k chia hết cho 10, từ đó cũng chia hết cho 5

4^k + 16^k chia hết cho 20, từ đó cũng chia hết cho 5

Do đó số tự nhiên n có dạng n=2*(2j+1)=4*j+2 cũng là số n thỏa mãn yêu cầu đề bài

Trường hợp 2: k=2j, khi đó n=4j, với j là số tự nhiên, khi đó biểu thức ban đầu trở thành

1^(4q)+2^(4q)+3^(4q)+4^(4q)=(1^q)^4+(2^q)^4+(3^q)^4+(4^q)^4

Định lý Fermat nhỏ phát biểu như sau:

Đối với mọi số nguyên tố p và số tự nhiên a nguyên tố cùng nhau với nó, ta chứng minh được:

a^(p-1)-1 chia hết cho p

Áp dụng tính chất trên với số nguyên tố p=5, khai triển biểu thức ban đầu về dạng như sau:

A=((1^q)^4-1)+((2^q)^4-1)+((3^q)^4-1)+((4^q)^4-1)+4

Ta nhận thấy mỗi hạng tử (1^q)^4-1, (2^q)^4-1, (3^q)^4-1 và (4^q)^4-1 đều chia hết cho 5, do đó trong trường hợp này A chia 5 dư 4, không thỏa mãn điều kiện bài toán ban đầu

Như vậy tổng kết lại, bài toàn có các số n như sau thỏa mãn điều kiện đề bài:

n = 2k+1, n=4k+2, với k là số tự nhiên bất kì

Chi tiết về hằng đẳng thức đáng nhớ suy rộng cũng như định lý Fermat nhỏ, bạn có thể tham khảo thêm trên Internet