11/05/2023
Làm sao để có câu trả lời hay nhất?
13/05/2023
1n + 2n + 3n + 4n = 10n
Để n chia hết cho 5 thì n = 0 hoặc n =5
11/05/2023
Theo mình hiểu đề bài đúng sẽ là:
Tìm số tự nhiên n sao cho 1^n + 2^n + 3^n + 4^n chia hết cho 5
Trong trường hợp này bài toán sẽ được giải như sau:
Do n là số tự nhiên nên có hai trường hợp chính: n=2k và n=2k+1, k là số tự nhiên
Xét trường hợp n=2k+1
Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ suy rộng cho a^q+b^q với q là số tự nhiên lẻ, ta suy ra được
a^q + b^q chia hết cho a+b
áp dụng tính chất này, với mọi n=2k+1:
1^n + 4^n chia hết cho 5
2^n + 3^n chia hết cho 5
Do đó n=2k+1 là một đáp số của bài toán đã cho, với k là số tự nhiên
Xét trường hợp n=2k, ở đây tiếp tục chia ra làm 2 trường hợp nhỏ:
Trường hợp 1: k=2j+1, khi đó ta có k là số tự nhiên lẻ với mọi j là số tự nhiên
Khi đó biểu thức ban đầu trở thành: 1^k+4^k+9^k+16^k
Áp dụng tính chất từ hẳng đẳng thức đáng nhớ suy rộng kể trên cho k là số lẻ, ta có
1^k + 9^k chia hết cho 10, từ đó cũng chia hết cho 5
4^k + 16^k chia hết cho 20, từ đó cũng chia hết cho 5
Do đó số tự nhiên n có dạng n=2*(2j+1)=4*j+2 cũng là số n thỏa mãn yêu cầu đề bài
Trường hợp 2: k=2j, khi đó n=4j, với j là số tự nhiên, khi đó biểu thức ban đầu trở thành
1^(4q)+2^(4q)+3^(4q)+4^(4q)=(1^q)^4+(2^q)^4+(3^q)^4+(4^q)^4
Định lý Fermat nhỏ phát biểu như sau:
Đối với mọi số nguyên tố p và số tự nhiên a nguyên tố cùng nhau với nó, ta chứng minh được:
a^(p-1)-1 chia hết cho p
Áp dụng tính chất trên với số nguyên tố p=5, khai triển biểu thức ban đầu về dạng như sau:
A=((1^q)^4-1)+((2^q)^4-1)+((3^q)^4-1)+((4^q)^4-1)+4
Ta nhận thấy mỗi hạng tử (1^q)^4-1, (2^q)^4-1, (3^q)^4-1 và (4^q)^4-1 đều chia hết cho 5, do đó trong trường hợp này A chia 5 dư 4, không thỏa mãn điều kiện bài toán ban đầu
Như vậy tổng kết lại, bài toàn có các số n như sau thỏa mãn điều kiện đề bài:
n = 2k+1, n=4k+2, với k là số tự nhiên bất kì
Chi tiết về hằng đẳng thức đáng nhớ suy rộng cũng như định lý Fermat nhỏ, bạn có thể tham khảo thêm trên Internet
11/05/2023
Ta có: n+2n+3n+4n
= n×(1+2+3+4)
= 10n
Vì 10 = 5×2 luôn chia hết cho 5
⇒ 10n luôn chia hết cho 5 với mọi n ∈ N
Vậy với mọi giá trị n ∈ N ta luôn có n+2n+3n+4n chia hết cho 5
11/05/2023
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
8 giờ trước
8 giờ trước
8 giờ trước
Top thành viên trả lời