cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh đáy = 2a và tam giác ABC đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABcD) là trung điểm H của cạnh AB. cạnh bên SA=√7a
a) cmr (SHC) vuông g...
Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
a) Ta có tam giác ABC đều nên góc BAC bằng 60 độ. Khi đó, ta có:
$\cos \angle SAB = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
Vì $SH$ là đường cao của tam giác $SAB$, nên ta cần chứng minh $\angle SHC = 90^\circ$. Ta có:
$\cos \angle SHC = \frac{HC}{SH} = \frac{1}{\sqrt{7}}$
$\cos \angle SAB = \frac{SA}{SB} = \frac{\sqrt{7}a}{2a} = \frac{\sqrt{7}}{2}$
Vậy, $\cos \angle SHC \cdot \cos \angle SAB = \frac{1}{2}$, suy ra $\angle SHC = 90^\circ$.
b) Gọi $O$ là trung điểm của $CD$. Ta có $OH \perp AB$ và $OH = \frac{1}{2} CD = a$. Khi đó, khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$ chính là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$. Để tính khoảng cách này, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$.
Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Ta có $OM \perp SC$ và $OM = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \sqrt{7}a$. Khi đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$ chính là $\vec{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CM}$.
Ta có:
$\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{CM} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sqrt{7}a \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}a \\ 0 \end{pmatrix}$
Từ đó, ta tính được:
$\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a\sqrt{21} \end{pmatrix}$
Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$ chính là:
$d = \frac{|\vec{SO} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{\left| \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sqrt{7}a \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}a \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a\sqrt{21} \end{pmatrix} \right|}{a\sqrt{21}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$
Vậy, khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$ cũng bằng $\frac{a\sqrt{7}}{2}$.
c) Gọi $\alpha$ là góc giữa $(SAD)$ và $(SCD)$. Ta cần tính $\cos \alpha$.
Ta có:
$\cos \alpha = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}$
trong đó $\vec{m}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAD)$. Ta thấy rằng $\vec{m}$ chính là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$, tức là:
$\vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a \\ 2a \\ 0 \end{pmatrix}$
Từ đó, ta tính được:
$\vec
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5(0 đánh giá)
0
0 bình luận
Bình luận
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.