cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, cạnh đáy = 2a và tam giác ABC đều. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABcD) là trung điểm H của cạnh AB. cạnh bên SA=√7a a) cmr (SHC) vuông g...

a) Ta có tam giác ABC đều nên góc BAC bằng 60 độ. Khi đó, ta có: $\cos \angle SAB = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ Vì $SH$ là đường cao của tam giác $SAB$, nên ta cần chứng minh $\angle SHC = 90^\circ$. Ta có: $\cos \angle SHC = \frac{HC}{SH} = \frac{1}{\sqrt{7}}$ $\cos \angle SAB = \frac{SA}{SB} = \frac{\sqrt{7}a}{2a} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ Vậy, $\cos \angle SHC \cdot \cos \angle SAB = \frac{1}{2}$, suy ra $\angle SHC = 90^\circ$. b) Gọi $O$ là trung điểm của $CD$. Ta có $OH \perp AB$ và $OH = \frac{1}{2} CD = a$. Khi đó, khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$ chính là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$. Để tính khoảng cách này, ta cần tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$. Gọi $M$ là trung điểm của $SC$. Ta có $OM \perp SC$ và $OM = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \sqrt{7}a$. Khi đó, vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SCD)$ chính là $\vec{n} = \overrightarrow{CD} \times \overrightarrow{CM}$. Ta có: $\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 2a \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{CM} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sqrt{7}a \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}a \\ 0 \end{pmatrix}$ Từ đó, ta tính được: $\vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a\sqrt{21} \end{pmatrix}$ Khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$ chính là: $d = \frac{|\vec{SO} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{\left| \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \sqrt{7}a \\ \frac{1}{2} \sqrt{3}a \\ a \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ a\sqrt{21} \end{pmatrix} \right|}{a\sqrt{21}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$ Vậy, khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SCD)$ cũng bằng $\frac{a\sqrt{7}}{2}$. c) Gọi $\alpha$ là góc giữa $(SAD)$ và $(SCD)$. Ta cần tính $\cos \alpha$. Ta có: $\cos \alpha = \frac{\vec{n} \cdot \vec{m}}{|\vec{n}| \cdot |\vec{m}|}$ trong đó $\vec{m}$ là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(SAD)$. Ta thấy rằng $\vec{m}$ chính là vector pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$, tức là: $\vec{m} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2a \\ 2a \\ 0 \end{pmatrix}$ Từ đó, ta tính được: $\vec