Giải bài toán dưới hình

1) Ta có $\angle NAC = \angle BAF$ (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn $(ABC)$), $\angle ACN = \angle ABM$ (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn $(ABC)$). Vì $\angle BAF = \angle ABM$ (do $ABMF$ là tứ giác điều hòa), nên tam giác $NAC$ đồng dạng với tam giác $BMF$. 2) Ta có $\angle MAE = \angle MFB$ (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn $(ABC)$), $\angle MKA = \angle MFC$ (cùng là góc nội tiếp trên cùng đường tròn $(AMF)$). Vì $AE \parallel BF$, $AK \parallel CF$, nên $\angle MEI = \angle MFB$ và $\angle MKI = \angle MFC$. Do đó, tứ giác $MAKI$ là tứ giác điều hòa, suy ra $MI.ME = MA^2 = MK.MF$. 3) Ta có $\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MC}$ (điều kiện đồng dạng của tam giác $ABC$ và $MBF$), $\frac{ME}{MF} = \frac{MA}{MK}$ (do tam giác $AME$ đồng dạng với tam giác $FMK$). Kết hợp hai công thức này, ta được: $\frac{AB}{AC} = \frac{MB}{MC} = \frac{ME}{MF}.\frac{MA}{MK}$ Tương đương với: $\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{CM}.\frac{ME}{MF}$ Do đó, theo định lí Menelaus, ta có $AE$, $BF$, $CM$ đồng quy. 4) Ta sử dụng định lí Ceva để chứng minh. Áp dụng định lí Ceva cho tam giác $ABC$ và điểm $H$, ta cần chứng minh: $\frac{HB}{HC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB} = 1$ Ta có $\frac{HB}{HC} = \frac{MB}{MC}$ (điều kiện đồng dạng của tam giác $ABC$ và $MBF$), $\frac{EC}{EA} = \frac{MC}{MA}$ (do tam giác $AME$ đồng dạng với tam giác $MNC$), $\frac{FA}{FB} = \frac{MA}{MB}$ (do tứ giác $ABMF$ là tứ giác điều hòa). Kết hợp các công thức này, ta được: $\frac{HB}{HC}.\frac{EC}{EA}.\frac{FA}{FB} = \frac{MB}{MC}.\frac{MC}{MA}.\frac{MA}{MB} = 1$ Do đó, $AH$, $BF$, $CE$ đồng quy.