a) Vẽ (P) và Δ trên cùng một hệ trục tọa độ:
![]()
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và Δ:
Để tìm tọa độ giao điểm của (P) và Δ, ta giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} y = \frac{1}{2}x + 3 \\ y = x^2 \end{cases}$
Thay $y$ trong phương trình thứ nhất bằng $x^2$, ta được:
$x^2 = \frac{1}{2}x + 3$
Đưa về dạng $x^2 - \frac{1}{2}x - 3 = 0$ và giải phương trình bậc hai này, ta được:
$x_1 = -\frac{3}{2}, \quad x_2 = 2$
Thay $x_1$ và $x_2$ vào phương trình thứ nhất, ta được tọa độ giao điểm của (P) và Δ là:
$A\left(-\frac{3}{2}, \frac{15}{4}\right), \quad B\left(2, \frac{4}{2}\right)$
c) Tìm m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ |x1 - x2| = 4 thỏa mãn.
Để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ |x1 - x2| = 4 thì phương trình (P) và (d) phải có nghiệm phân biệt và khoảng cách giữa hai nghiệm đó bằng 4. Ta giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases} y = mx + m - 3 \\ y = x^2 \end{cases}$
Thay $y$ trong phương trình thứ nhất bằng $x^2$, ta được:
$x^2 = mx + m - 3$
Đưa về dạng $x^2 - mx - m + 3 = 0$ và áp dụng định lý giá trị trung bình, ta có:
$\Delta = m^2 - 4(3-m) \geq 0$
Suy ra: $m^2 - 4m + 12 \geq 0$
Điều kiện để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt và khoảng cách giữa hai nghiệm đó bằng 4 là:
$\frac{\sqrt{\Delta}}{2} = \sqrt{m^2 - 4m + 12} > 2$
Tức là $m^2 - 4m + 12 > 4$, hay $m^2 - 4m + 8 > 0$
Phương trình này không có nghiệm thực, do đó không tồn tại giá trị của m để (P) cắt (d) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ |x1 - x2| = 4.