Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến tại B, C của (O) cắt nhau tại T. Đường thẳng TO cắt (O) tại M, K (M nằm giữa O, T) và cắt BC tại E. Gọi I là tâm nội tiếp tam giác ABC. a) Chứng mi...

a) Ta có $\angle ATE = \angle ACB = \angle AMB$, suy ra $A, M, T, E$ đồng trục. Khi đó, $\angle KIE = \angle KTE = \angle AME$, do đó $AM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $KIE$ tại $M$. b) Gọi $N$ là giao điểm của $AJ$ và $BC$. Ta có $\angle AJL = \angle ANL = \angle ABC = \angle AEC$, suy ra $AJLE$ là tứ giác nội tiếp. Gọi $P$ là giao điểm của $TJ$ và $AL$. Ta có $\angle JTP = \angle JTB = \angle JAB = \angle JAL$, suy ra $JTPL$ là tứ giác nội tiếp. Áp dụng định lí Pappus cho hai đường thẳng $ATL$ và $BJK$, ta có $N, P, I$ thẳng hàng. Do đó, $\angle JLP = \angle JTP = \angle JAB = \angle JNL$, suy ra $JLPN$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó, suy ra $\angle AJL = \angle ANL = \angle AEC = \angle AEP = \angle ALP$, do đó $TJ$ là tiếp tuyến của đường tròn $(AJL)$.