Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM để giải bài toán này.
Đầu tiên, ta chứng minh rằng:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{b^2+c^2} + \frac{1}{a^2+c^2} \geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số $a^2+b^2, b^2+c^2, a^2+c^2$, ta có:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{b^2+c^2} + \frac{1}{a^2+c^2} \geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}}$
Do đó, ta cần chứng minh:
$3\sqrt[3]{\frac{1}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2)}} \geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Tương đương với:
$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \leq \frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $a^2+b^2, b^2+c^2, a^2+c^2$, ta có:
$(a^2+b^2)(b^2+c^2)(a^2+c^2) \leq \frac{1}{27}(a^2+b^2+b^2+c^2+c^2+a^2)^3 = \frac{8}{27}(a^2+b^2+c^2)^3$
Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu.
Tiếp theo, ta chứng minh rằng:
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)}$
Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$, ta có:
$a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc = p(p^2-3q)+3r$
Do đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
$p(p^2-3q)+3r \geq 3p\frac{(p^2-2q)}{p}$
Tương đương với:
$p^3-4pq+9r \geq 0$
Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc 3, ta có:
$p^3+9r \geq 4pq$
Do đó, ta chỉ cần chứng minh:
$4pq-4r \geq 3pq$
Tương đương với:
$p^2 \geq 3q$
Bất đẳng thức này là đúng vì:
$p^2 = (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) = 3q$
Vậy ta đã chứng minh được bất đẳng thức ban đầu.
Tổng kết lại, ta có:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{b^2+c^2} + \frac{1}{a^2+c^2} \geq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)}$
$\frac{a^3+b^3+c^3}{abc} \geq \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)}$
Do đó:
$\frac{1}{a^2+b^2} + \frac{1}{b^2+c^2} + \frac{1}{a^2+c^2} - \frac{a^3+b^3+c^3}{12abc} \leq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} - \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+bc+ca)}$
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bên phải. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho $ab+bc+ca$, ta có:
$ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 2(a^2+b^2+c^2)$
Do đó:
$\frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} - \frac{3(a^2+b^2+c^2)}{4(ab+bc+ca)} \leq \frac{9}{2(a^2+b^2+c^2)} - \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\left(\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\right)$
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức ban đầu là $\frac{3}{2}\left(\frac{3}{a^2+b^2+c^2}\right)$. Để đạt được giá trị này, ta cần có $a=b=c=1$ hoặc $a=\sqrt{2}, b=\sqrt{2}, c=0$ (hoặc các biến thể tương đương). Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức ban đầu là $\frac{9}{4}$.
cho tam giác abc cân tại a. Lấy điểm D trên cạnh ab, điểm e trên cạnh ac sao cho ad= ae.
a) chứng minh tứ giác decb là hình thang cân
b) các điểm d,e ở vị trí nào thì bd=de=ec
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.