Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Ta có:
$\begin{aligned} củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca}&=\frac{c^2}{a}+\frac{362a}{ab+bc+ca}+\frac{b^2}{a}+\frac{362a}{ab+bc+ca}+\frac{ac}{b}+\frac{362b}{ab+bc+ca}+\frac{bc}{a}+\frac{362c}{ab+bc+ca} \\ &\geq 8\sqrt[8]{\frac{c^2}{a}\cdot \frac{362a}{ab+bc+ca}\cdot \frac{b^2}{a}\cdot \frac{362a}{ab+bc+ca}\cdot \frac{ac}{b}\cdot \frac{362b}{ab+bc+ca}\cdot \frac{bc}{a}\cdot \frac{362c}{ab+bc+ca}} \\ &=8\sqrt[8]{\frac{362^2c^3}{(ab+bc+ca)^3}} \end{aligned}$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} \leq 3$
Vậy:
$củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca} \geq 8\sqrt[8]{\frac{362^2c^3}{27}}=4\sqrt[4]{362^2c^3}$
Do đó:
$củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca} \geq 4\sqrt{362c}$
Từ giả thiết $a+b+c \leq 3$, ta có:
$c \leq 3-a-b$
Vậy:
$củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca} \geq 4\sqrt{362(3-a-b)}$
Đặt $x=a+b$, ta có:
$củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca} \geq 4\sqrt{362(3-x)}$
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức trên. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
$3=x+(3-x) \geq 2\sqrt{x(3-x)}$
$\Rightarrow x \leq \frac{9}{4}$
Do đó:
$củ\ a+\frac{362}{ab+bc+ca} \geq 4\sqrt{362(3-x)} \geq 4\sqrt{362\cdot \frac{3}{4}}=121$
Vậy đáp án là $\boxed{\textbf{(B) }121}$.
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.