Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài tại đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N. a) C...

a) Ta có: - Góc ACD = góc BDC (do AB // CD) - Góc ADB = góc BAC (do AB // CD) - Góc ACD + góc ADB = 180 độ (tổng các góc trong hình thang ABCD bằng 180 độ) Do đó, ta có: - Góc ACD = 180 độ - góc ADB - Góc BDC = 180 độ - góc BAC Khi đó, ta có: - Góc AMB = 180 độ - góc ADB - góc BAC = góc ACD + góc BDC - góc ADB - góc BAC = góc NMC Vậy MN // CD. b) Ta có: - Góc ADB = góc BAC = x (giả sử) - Góc ACD = 180 độ - góc ADB = 180 độ - x - Góc BDC = 180 độ - góc BAC = 180 độ - x - Góc AMB = góc NMC = góc ACD + góc BDC - góc ADB - góc BAC = 180 độ - 2x Theo định lí phân giác, ta có: - BM/MD = AB/AD = a/d - AN/NC = AB/BC = a/b Từ đó, ta suy ra: - BM = ad/(a+d) - MD = d - ad/(a+d) - AN = ab/(a+b) - NC = b - ab/(a+b) Áp dụng định lí Euclid vào tam giác AMB, ta có: - MN/BD = AN/BC * BM/AD = (ab/(a+b)) * (ad/(a+d))/(bd/(a+d)) = ad*ab/bd/(a+b)/(a+d) Do đó, ta có: - MN = BD * ad*ab/bd/(a+b)/(a+d) = (c+a) * ad*ab/bd/(a+b)/(a+d) Vậy độ dài MN là: MN = (c+a) * ad*ab/bd/(a+b)/(a+d).