Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: a. BE = CD b. Tam giác KBD bằng tam giác KCE c. AK là phân g...

a. Ta có AD = AE và tam giác ABC cân tại A nên BD = CE. Do đó, ta có BE + CD = BD + CE = BC. Vì tam giác ABC cân tại A nên ta có AB = AC, từ đó suy ra AD = AE = (AB - BD) / 2 = (AC - CE) / 2. Kết hợp với BD = CE, ta có BE = CD. b. Ta có: $\frac{BD}{DK}=\frac{AB}{AK}\cdot\frac{\sin\angle BAK}{\sin\angle BDK}$ và $\frac{CE}{EK}=\frac{AC}{AK}\cdot\frac{\sin\angle CAK}{\sin\angle CEK}$. Vì tam giác ABC cân tại A nên $\angle BAK = \angle CAK$, $\sin\angle BAK = \sin\angle CAK$ và $AB = AC$. Do đó, ta có $\frac{BD}{DK} = \frac{CE}{EK}$. Từ đó suy ra $\frac{BD}{DK} = \frac{BE + ED}{EK - ED} = \frac{BE}{EK}$ (vì $ED = DK$). Tương tự, ta có $\frac{CE}{EK} = \frac{CD}{DK}$. Như vậy, $\frac{BD}{BE} = \frac{CD}{CE}$, hay tam giác KBD bằng tam giác KCE theo định lí đồng dạng. c. Gọi I là giao điểm của AK và BC. Ta cần chứng minh AI là phân giác của góc BAC. Ta có $\angle AKB = \angle AKC$ (vì tam giác KBD bằng tam giác KCE) và $\angle BAK = \angle CAK$. Do đó, ta có $\angle BAI = \angle KAB + \angle KAI = \angle KAC + \angle KCA = \angle IAC$. Tương tự, ta có $\angle CAI = \angle IAB$, suy ra AI là phân giác của góc BAC. d. Ta có $\angle KBC = \angle KBD + \angle DBC = \angle KCE + \angle ECB = \angle KCE + \angle EBC = \angle KCE + \angle ACB$. Vì tam giác KBD bằng tam giác KCE nên $\angle KCE = \angle KBD$. Do đó, $\angle KBC = \angle KCE + \angle ACB = \angle KBD + \angle ACB = \angle KBA + \angle ACB = \angle ABC / 2 + \angle ACB = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Như vậy, tam giác KBC cân tại K.