CÂU C Ạ DÙNG KT LỚP 9

a) Ta có $\angle AON = \angle AMN = 90^\circ$ (do $OM$ là đường trung trực của $BC$), suy ra $AOND$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có $\angle ADN = \angle AON = 90^\circ - \angle BAC$. Vì $OM$ là đường trung trực của $BC$, nên $BM = MC$. Do đó, ta có $AN \cdot ND = MN \cdot NA = \frac{1}{2}AM \cdot NA = \frac{1}{2}BM \cdot NC = BM \cdot NE$. Suy ra $\frac{ND}{NE} = \frac{BM}{AN} = \frac{MC}{AN} = \frac{BD}{CE}$ (do $BD$ và $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$). Do đó, theo định lí Menelaus, ta có $AO$, $DE$ và $BC$ đồng quy. Vậy $DO$ là phân giác của góc $\angle ADN$. b) Ta có $\angle AFE = \angle ABE = \angle ACE = \angle ANE$, suy ra $AFEN$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $\angle FNE = \angle FAE = \angle FPE$, suy ra $FN \parallel BC$. Từ đó, ta có $\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{CE} = \frac{DN}{EN}$ (do $BD$ và $CE$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$). Suy ra $\frac{AB}{AN} = \frac{DN}{AF}$ và $\frac{AC}{AN} = \frac{EN}{AE}$. Do đó, theo định lí Menelaus, ta có $AD$, $EF$ và $NP$ đồng quy. Vậy $E$, $F$ và $P$ thẳng hàng. Từ $\angle AFE = \angle ABE = \angle ACE$, suy ra $ABEC$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $\angle AEB = \angle ACB = \angle APB$, suy ra $AEPB$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có $\angle ABP = \angle AEP = \angle AFE = \angle ABE$, suy ra $AB \parallel EF$. Do đó, $\frac{AB}{AN} = \frac{AF}{AE}$ và $\frac{AC}{AN} = \frac{AE}{AF}$. Từ đó, ta có $AB \cdot PC = AC \cdot PB$. c) Ta có $\angle AKD = 90^\circ$ (do $AK$ là đường đường kính của đường tròn $(O)$), suy ra $K$, $D$ và $F$ thẳng hàng. Từ $\angle AFE = \angle ABE = \angle ACE$, suy ra $ABEC$ là tứ giác nội tiếp. Do đó, $\angle AEB = \angle ACB = \angle APB$, suy ra $AEPB$ là tứ giác nội tiếp. Từ đó, ta có $\angle AEP = \angle ABP$, suy ra $AE \parallel BP$. Do đó, $\frac{AB}{AN} = \frac{AF}{AE}$ và $\frac{AC}{AN} = \frac{AE}{AF}$. Từ đó, ta có $AB \cdot PC = AC \cdot PB$. Vì $M$ là trung điểm của $BC$, nên $DM \parallel AN$. Do đó, $\frac{FN}{ND} = \frac{FA}{AE} = \frac{AB}{AC}$. Từ đó, ta có $FN \cdot AC = ND \cdot AB = (MD - MN) \cdot AB = MB \cdot AB - MN \cdot AB = MC \cdot AC - \frac{1}{2}AM \cdot AC = \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{2}AM \cdot AC = \frac{1}{2}AC \cdot CM$. Vậy $FN$ đi qua trung điểm của $DM$.