Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Để chứng minh các phương trình đã cho, ta sử dụng định lí Menelaus.
Vì đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC, nên ta có:
AM/MC = AN/NB = 2/1 (định lí trọng tâm)
Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua M, ta có:
(MA/AB) * (BN/NC) * (CM/MA) = 1
=> (MA/AB) * (1/2) * (CM/MA) = 1
=> CM/AB = 2
Tương tự, áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua N, ta có:
(NA/AC) * (CM/MB) * (BN/NA) = 1
=> (1/3) * (CM/MB) * (1/1) = 1
=> CM/MB = 3
Từ hai phương trình trên, ta có:
CM/AB = 2
CM/MB = 3
Nhân cả hai phương trình với nhau, ta có:
(CM/AB) * (CM/MB) = 2 * 3
=> (CM)^2 / (AB * MB) = 6
=> (CM)^2 = 6 * (AB * MB)
Tương tự, ta áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC và đường thẳng đi qua A, ta có:
(AM/AB) * (BC/CM) * (NC/NA) = 1
=> (1/3) * (BC/CM) * (1/2) = 1
=> BC/CM = 6
Từ hai phương trình trên, ta có:
BC/CM = 6
CM/AB = 2
Nhân cả hai phương trình với nhau, ta có:
(BC/CM) * (CM/AB) = 6 * 2
=> (CM)^2 / (BC * AB) = 12
=> (CM)^2 = 12 * (BC * AB)
So sánh hai phương trình (CM)^2 = 6 * (AB * MB) và (CM)^2 = 12 * (BC * AB), ta có:
6 * (AB * MB) = 12 * (BC * AB)
=> MB = 2 * BC
Thay giá trị MB = 2 * BC vào phương trình CM/MB = 3, ta có:
CM/(2 * BC) = 3
=> CM = 6 * BC
Thay giá trị CM = 6 * BC vào phương trình CM/AB = 2, ta có:
6 * BC/AB = 2
=> BC/AB = 1/3
Từ BC/AB = 1/3, ta có:
AB/BC = 3
Vậy, ta đã chứng minh được:
a) AB/AM + AC/AN = 3
b) MB/MA + NC/NA = 1
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019
Email: info@fqa.vn
Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.