+ Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có đường cao AD và trực tâm H. Gọi E là điểm trên (O) sao cho hai dây AE và BC song song với nhau. Đường thẳng EH cắt (O) tại điểm thứ hai là...

a) Ta có AE || BC, do đó theo định lí của tam giác nội tiếp, ta có $\angle AEF = \angle ABC$. Mà $\angle ABC = \angle AOC$ (do AB và AC là hai cung cùng nằm trên đường tròn (O)), nên $\angle AEF = \angle AOC$. Tương tự, ta có $\angle AFE = \angle ACO$. Do đó, tứ giác AEOF là tứ giác nội tiếp. Gọi I là giao điểm của AE và OF. Ta có $\angle AIF = \angle AEF = \angle AOC$, nên tứ giác AIOF là tứ giác nội tiếp. Mà I là trung điểm của AO (vì AE || BC), nên M là trung điểm của EH. b) Ta có $\angle OFA + \angle ODF = \angle OIA + \angle OIF = 180^\circ$ (do tứ giác AIOF là tứ giác nội tiếp). c) Gọi X là giao điểm của TH và BC. Ta cần chứng minh X là trung điểm của BC. Vì AK = KA' (do K là điểm đối xứng của A qua O), nên $\angle KAF = \angle KFA'$. Mà $\angle KFA' = \angle KOF$ (do tứ giác AIOF là tứ giác nội tiếp), nên $\angle KAF = \angle KOF$. Tương tự, ta có $\angle KFA = \angle KOF$. Do đó, tứ giác AKOF là tứ giác nội tiếp. Vậy, $\angle XAF = \angle XKF = \angle XOK = \angle XOA = \angle XCA$. Mà $\angle XAF = \angle XCA$ (do AE || BC), nên X là trung điểm của BC. Do đó, TH || BC. b) Đường thẳng (d) cắt đường parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chỉ khi tồn tại x sao cho $x^2 = (m - 2)x + 3$. Điều này tương đương với việc $x^2 - (m - 2)x - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt. Điều kiện này xảy ra khi và chỉ khi $\Delta = (m - 2)^2 + 12 > 0$. Tức là $(m - 2)^2 > -12$, điều này luôn đúng với mọi m. Do đó, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Gọi C và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành. Ta cần chứng minh diện tích của hai tam giác AOC và BOD bằng nhau. Diện tích tam giác AOC là $\frac{1}{2} \cdot AC \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot (x_2 - x_1) \cdot \left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) = \frac{1}{4}(x_2 - x_1)(x_1 + x_2)$. Tương tự, diện tích tam giác BOD là $\frac{1}{4}(x_4 - x_3)(x_3 + x_4)$. Vì A và B nằm khác phía đối với trục tung, nên $x_2 > x_1$ và $x_4 > x_3$. Do đó, ta có $x_2 - x_1 > 0$ và $x_4 - x_3 > 0$. Để hai tam giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau, ta cần chứng minh $(x_2 - x_1)(x_1 + x_2) = (x_4 - x_3)(x_3 + x_4)$. Tức là $x_2^2 - x_1^2 = x_4^2 - x_3^2$. Từ phương trình của đường thẳng (d), ta có $x_2^2 - (m - 2)x_2 - 3 = x_1^2 - (m - 2)x_1 - 3$ và $x_4^2 - (m - 2)x_4 - 3 = x_3^2 - (m - 2)x_3 - 3$. Do đó, ta chỉ cần chứng minh $x_2^2 - (m - 2)x_2 = x_1^2 - (m - 2)x_1$ và $x_4^2 - (m - 2)x_4 = x_3^2 - (m - 2)x_3$. Tức là $x_2(x_2 - (m - 2)) = x_1(x_1 - (m - 2))$ và $x_4(x_4 - (m - 2)) = x_3(x_3 - (m - 2))$. Vì $x_2 > x_1$ và $x_4 > x_3$, nên ta chỉ cần chứng minh $x_2 - (m - 2) = x_1 - (m - 2)$ và $x_4 - (m - 2) = x_3 - (m - 2)$. Tức là $x_2 = x_1$ và $x_4 = x_3$. Do đó, hai tam giác AOC và BOD có diện tích bằng nhau khi và chỉ khi $x_2 = x_1$ và $x_4 = x_3$. Tức là (d) cắt (P) tại hai điểm đối xứng qua trục hoành. c) Gọi O là tâm của đường tròn (O). Ta cần chứng minh TH || BC. Gọi T' là giao điểm của TH và BC. Ta cần chứng minh T' là trung điểm của BC. Vì TH || BC, nên $\angle T'HA = \angle BAC$. Mà $\angle BAC = \angle BOC$ (do AB và AC là hai cung cùng nằm trên đường tròn (O)), nên $\angle T'HA = \angle BOC$. Tương tự, ta có $\angle T'HB = \angle BOC$. Do đó, tứ giác T'HOA là tứ giác nội tiếp. Gọi X là giao điểm của FK và (O). Ta cần chứng minh X là trung điểm của BC. Vì AK = KA' (do K là điểm đối xứng của A qua O), nên $\angle KAF = \angle KFA'$. Mà $\angle KFA' = \angle KOF$ (do tứ giác AIOF là tứ giác nội tiếp), nên $\angle KAF = \angle KOF$. Tương tự, ta có $\angle KFA = \angle KOF$. Do đó, tứ giác AKOF là tứ giác nội tiếp. Vậy, $\angle XAF = \angle XKF = \angle XOK = \angle XOA = \angle XCA$. Mà $\angle XAF = \angle XCA$ (do AE || BC), nên X là trung điểm của BC. Do đó, T' là trung điểm của BC. Vậy TH || BC.