a) Để tính độ dài đoạn AC, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ABC:
Theo định lý Pythagoras, ta có: AB^2 + BC^2 = AC^2
Với AB = 3cm và BC = 6cm, ta có:
AC^2 = AB^2 + BC^2
AC^2 = 3^2 + 6^2
AC^2 = 9 + 36
AC^2 = 45
Độ dài đoạn AC là căn bậc hai của 45:
AC = √45 cm
Để tính độ lớn góc C, ta sử dụng các tỉ lệ trong tam giác vuông:
Theo tỉ lệ trong tam giác vuông, ta có:
sin(C) = BC/AC
Với BC = 6cm và AC = √45 cm, ta có:
sin(C) = 6/√45
Độ lớn góc C là arcsin(6/√45):
C = arcsin(6/√45)
b) Để tính độ dài EF, ta sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông AHE:
Theo định lý Pythagoras, ta có: AH^2 = AE^2 + EH^2
Với AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:
AH = BC = 6cm
Vì tam giác ABC vuông tại A, nên góc EAH = 90 độ. Do đó, tam giác AHE cũng là tam giác vuông.
Với AE là đoạn thẳng nối điểm E và A, ta có:
AE = AB - BE
AE = 3cm - HE
Với HE là chiều cao của tam giác AHE, ta có:
HE = EF
Kết hợp các công thức trên, ta có:
AH^2 = AE^2 + EH^2
6^2 = (3 - EF)^2 + EF^2
36 = 9 - 6EF + EF^2 + EF^2
36 = 9 + EF^2 - 6EF + EF^2
36 = 18 + 2EF^2 - 6EF
2EF^2 - 6EF - 18 = 0
EF^2 - 3EF - 9 = 0
Để giải phương trình trên, ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
EF = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a
Với a = 1, b = -3 và c = -9, ta có:
EF = (-(-3) ± √((-3)^2 - 4(1)(-9))) / (2(1))
EF = (3 ± √(9 + 36)) / 2
EF = (3 ± √45) / 2
Do EF không thể âm, nên ta chỉ lấy nghiệm dương:
EF = (3 + √45) / 2
c) Để chứng minh phương trình đã cho, ta sử dụng các tính chất của hình chiếu và đường cao trong tam giác.
Theo tính chất của hình chiếu, ta có:
BE = BA * cos(B)
CF = CA * cos(C)
Với BA = 3cm, CA = √45 cm, và góc B và góc C đã được tính toán ở câu a), ta có:
BE = 3 * cos(B)
CF = √45 * cos(C)
Theo tính chất của đường cao, ta có:
HB * HC = AB * AC
Với HB = HC = AH = 6cm, AB = 3cm và AC = √45 cm, ta có:
HB * HC = AB * AC
6 * 6 = 3 * √45
36 = 3√45
Kết hợp các công thức trên, ta có:
BE * BA + CF * CA + 2 * HB * HC = BC^2
3 * cos(B) * 3 + √45 * cos(C) * √45 + 2 * 6 * 6 = 6^2
9cos(B) + 45cos(C) + 72 = 36
9cos(B) + 45cos(C) = -36
cos(B) + 5cos(C) = -4
Vì cos(B) = sin(C), nên ta có:
sin(C) + 5cos(C) = -4
Do đó, phương trình đã cho được chứng minh.