Tìm $m$ để hàm số $y=-\frac{1}{3}x^3+\left(m-1\right)x^2+\left(m+3\right)x-4$ đồng biến trên $\left(0;3\right)$

Để hàm số đồng biến trên một khoảng, đạo hàm của hàm số phải không âm trên khoảng đó. Ta sẽ tính đạo hàm của hàm số và giải phương trình để tìm giá trị của m. Đạo hàm của hàm số là: $y'=-x^2+2(m-1)x+(m+3)$ Để hàm số đồng biến trên (0, 3), ta cần đạo hàm không âm trên khoảng này. Vì vậy, ta có: $-x^2+2(m-1)x+(m+3) \geq 0$ Để giải phương trình bậc hai này, ta sẽ xác định điều kiện để nó có nghiệm. Điều kiện này là delta ($\Delta$) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính bằng công thức: $\Delta = b^2 - 4ac$ Áp dụng vào phương trình trên, ta có: $\Delta = (2(m-1))^2 - 4(-1)(m+3)$ $= 4(m^2 - 2m + 1) + 4(m+3)$ $= 4m^2 - 8m + 4 + 4m + 12$ $= 4m^2 - 4m + 16$ Để delta không âm, ta có: $\Delta \geq 0$ $4m^2 - 4m + 16 \geq 0$ Để giải phương trình bậc hai này, ta sẽ xác định điều kiện để nó có nghiệm. Điều kiện này là delta ($\Delta$) phải lớn hơn hoặc bằng 0. Delta được tính bằng công thức: $\Delta = b^2 - 4ac$ Áp dụng vào phương trình trên, ta có: $\Delta = (2(m-1))^2 - 4(-1)(m+3)$ $= 4(m^2 - 2m + 1) + 4(m+3)$ $= 4m^2 - 8m + 4 + 4m + 12$ $= 4m^2 - 4m + 16$ Để delta không âm, ta có: $\Delta \geq 0$ $4m^2 - 4m + 16 \geq 0$ Để giải phương trình này, ta sẽ chuyển nó về dạng nhân tử: $4(m^2 - m + 4) \geq 0$ Để tìm giá trị của m, ta cần xác định điều kiện để biểu thức trên không âm. Ta sẽ xét từng trường hợp: 1. Khi $m^2 - m + 4 > 0$: - Vì $m^2 - m + 4$ là một đa thức bậc hai, nên ta có thể sử dụng định lý Viết. - Điều kiện để $m^2 - m + 4 > 0$ là $\Delta < 0$. - Tính delta: $\Delta = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15$. - Vì delta âm, nên $m^2 - m + 4 > 0$ với mọi giá trị của m. 2. Khi $m^2 - m + 4 = 0$: - Điều kiện này không xảy ra vì delta âm. Vậy, để hàm số đồng biến trên (0, 3), ta cần $m^2 - m + 4 > 0$ với mọi giá trị của m.