cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua (O) và cắt đường tròn tai 2 điểm A và B. Từ môt điểm C trên d ( A nằm giữa B và C) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M,N là hai tiếp điểm , M và O nằm cùng phía đối với AB ) MN cắt OC tại H
a) chứng minh tứ giác CMON nội tiếp đường tròn
b) Chứng minh CM^2=CA.CB
c) một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất

Question

cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua (O) và cắt đường tròn tai 2 điểm A và B. Từ môt điểm C trên d ( A nằm giữa B và C) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M,N là hai tiếp điểm , M và O nằm cùng phía đối với AB ) MN cắt OC tại H
a) chứng minh tứ giác CMON nội tiếp đường tròn 
b) Chứng minh CM^2=CA.CB
c) một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM,CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF nhỏ nhất

Accepted Answer

a) Chứng minh tứ giác CMON nội tiếp
Ta có CM, CN lần lượt là tiếp tuyến của (O) tại M, N(gt)
⟹ $\displaystyle CM\perp OM\ tại\ M;\ CN\perp ON\ tại\ N$
⟹ $\displaystyle \widehat{CMO} =90^{0} ;\ \widehat{CNO} =90^{0}$
Xét tứ giác CMON có $\displaystyle \widehat{CMO} ;\ \widehat{CNO}$ là hai góc đối và $\displaystyle \widehat{CMO} +\widehat{CNO} =180^{0}$
⟹ Tứ giác CMON nội tiếp
b) Xét tam giác $\displaystyle \vartriangle CAM\ và\ \vartriangle CMB$ có:
$\displaystyle \widehat{ACM}$ chung
$\displaystyle \widehat{CMA} =\widehat{CBM}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây và góc nội tiếp cùng chắn cung MA của đt O)
⟹$\displaystyle \vartriangle CAM\backsim \vartriangle CMB\ ( g-g)$
⟹$\displaystyle \frac{CA}{CM} =\frac{CM}{CB}$
⟹$\displaystyle CA.CB=CM^{2}$ (dpcm)

cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng d không qua (O) và cắt đường tròn tai 2 điểm A và B. Từ môt điểm C trên d ( A nằm giữa B và C) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn ( M,N là hai tiếp điểm...