cmr (ab+bc+ac)^2=3abc(a+b+c)

Question

cmr (ab+bc+ac)^2>=3abc(a+b+c)

vananh · Accepted Answer

Ta có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( ab+bc+ca)^{2} -3abc( a+b+c)\
=a^{2} b^{2} +b^{2} c^{2} +c^{2} a^{2} +2abc( a+b+c) -3abc( a+b+c)\
=a^{2} b^{2} +b^{2} c^{2} +c^{2} a^{2} -abc( a+b+c)\
=\frac{1}{2}\left[ 2a^{2} b^{2} +2b^{2} c^{2} +2c^{2} a^{2} -2a^{2} bc+2b^{2} ac+2c^{2} ab ight]\
=\frac{1}{2}\left[\left( a^{2} b^{2} -2ab.ac+a^{2} c^{2} ight) +\left( a^{2} b^{2} -2ab.bc+b^{2} c^{2} ight) +\left( b^{2} c^{2} -2bc.ca.c^{2} a^{2} ight) ight]\
=\frac{1}{2}\left[( ab-ac)^{2} +( ab-bc)^{2} +( bc-ac)^{2} ight]
\end{array}$
Do
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
( ab-ac)^{2} \geqslant 0;\ \ \ ( ab-bc)^{2} \geqslant 0;\ \ \ \ ( bc-ac)^{2} \geqslant 0\
\Rightarrow ( ab-ac)^{2} +( ab-bc)^{2} +( bc-ac)^{2} \geqslant 0\
\Rightarrow ( ab+bc+ca)^{2} -3abc( a+b+c) \geqslant 0\
\Rightarrow ( ab+bc+ca)^{2} \geqslant 3abc( a+b+c)
\end{array}$
Dấu$\displaystyle \ "="$ xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow ab=bc=ca\Leftrightarrow \ a=b=c$

Timi · Answer

Để chứng minh bất đẳng thức trên, ta sử dụng phương pháp bình phương và bất đẳng thức AM-GM (trung bình cộng - trung bình hình học).

Ta có:

(ab+bc+ac)^2 = a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a+b+c)

Đặt x = ab, y = bc, z = ca. Ta có hệ phương trình:

{ x = ab
{ y = bc
{ z = ca

Từ hệ phương trình trên, ta suy ra: xyz = a^2b^2c^2 và x+y+z = ab+bc+ca.

Bất đẳng thức trở thành: x^2 + y^2 + z^2 + 2xyz >= 3xyz

Sắp xếp lại ta được: x^2 + y^2 + z^2 >= xyz

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: (x + y + z)/3 >= ∛(xyz)

Bình phương hai vế ta được: (x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz) / 9 >= xyz

Sắp xếp lại ta được: x^2 + y^2 + z^2 >= 3xyz - 2xy - 2xz - 2yz

So sánh với bất đẳng thức cần chứng minh, ta thấy điều này đúng với mọi trường hợp.

Vậy, bất đẳng thức (ab+bc+ac)^2>=3abc(a+b+c) luôn đúng.