Giúp mình với!( Có vẽ hình) Bài 4(2,5 điểm): Cho $\Delta ABC$ có $AB=AC.$ Gọi I là trung điểm của BC.,a. Chứng minh: $\Delta ABI=\Delta ACI$ và $AI\bot BC.$,b. Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho $IA=IK,$ chứng minh $AB=KC.$,c. Kẻ $IE\bot AB(E\in AB),~IF\bot KC(F\in KC),$ chứng minh: E, I, F thẳng hàng.

Question

✞ঔৣ۝𝘷ươ𝘯𝘨۝ঔৣ✞ · Accepted Answer

{"userId":5421872,"userName":"Slayer"}

a) Chứng minh: △ABI = △ACI và AI ⟂ BC

Ta có:

AB = AC (giả thiết)
IB = IC (I là trung điểm của BC)
AI chung

⇒ △ABI = △ACI (c.g.c)

Suy ra:

∠BIA = ∠AIC

Mà B, I, C thẳng hàng ⇒

∠BIA + ∠AIC = 180° ⇒ mỗi góc = 90°

👉 AI ⟂ BC

b) Trên tia đối của tia IA lấy điểm K sao cho IA = IK. Chứng minh AB = KC

Vì K nằm trên tia đối của IA và IA = IK ⇒ I là trung điểm của AK

Ở câu a ta có: AI ⟂ BC

⇒ BC ⟂ AK

Xét hai tam giác ABI và KCI:

IA = IK
IB = IC
∠AIB = ∠KIC = 90°

⇒ △ABI = △KCI (c.g.c)

👉 Suy ra AB = KC

c) Kẻ IE ⟂ AB (E ∈ AB), IF ⟂ KC (F ∈ KC). Chứng minh E, I, F thẳng hàng

Từ câu b: AB = KC

I là trung điểm của AK ⇒ I là tâm đối xứng biến:

A ↔ K
AB ↔ KC

Do đó:

Đường vuông góc từ I đến AB biến thành đường vuông góc từ I đến KC

⇒ E đối xứng với F qua I

👉 E, I, F thẳng hàng

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

a. Chứng minh: $\Delta ABI = \Delta ACI$ và $AI \bot BC$.

1. Chứng minh $\Delta ABI = \Delta ACI$:

- Ta có $AB = AC$ (giả thiết).
   - $BI = CI$ vì $I$ là trung điểm của $BC$.
   - $AI$ là cạnh chung của hai tam giác $\Delta ABI$ và $\Delta ACI$.

Từ ba điều trên, theo trường hợp cạnh-cạnh-cạnh (c.c.c), ta có $\Delta ABI = \Delta ACI$.

2. Chứng minh $AI \bot BC$:

- Vì $\Delta ABI = \Delta ACI$, nên $\angle ABI = \angle ACI$.
   - Do $I$ là trung điểm của $BC$, nên $BI = CI$.
   - Từ đó, $\angle ABI + \angle ACI = 180^\circ$ (tổng hai góc kề bù).
   - Suy ra $\angle ABI = \angle ACI = 90^\circ$.

Vậy $AI \bot BC$.

b. Trên tia đối của tia $IA$ lấy điểm $K$ sao cho $IA = IK$, chứng minh $AB = KC$.

- Vì $IA = IK$ (giả thiết), nên $I$ là trung điểm của $AK$.
- Ta đã có $AB = AC$ (giả thiết).
- Từ $\Delta ABI = \Delta ACI$, ta có $BI = CI$.
- Do $I$ là trung điểm của $AK$, nên $AI = IK$.

Vì $AB = AC$ và $BI = CI$, nên theo tính chất đối xứng của tam giác cân, ta có $AB = KC$.

c. Kẻ $IE \bot AB (E \in AB),~IF \bot KC (F \in KC),$ chứng minh: $E, I, F$ thẳng hàng.

- Ta có $IE \bot AB$ và $IF \bot KC$.
- Vì $AB = KC$ và $I$ là trung điểm của cả $AB$ và $KC$, nên $IE$ và $IF$ là các đường cao của hai tam giác vuông $\Delta AIE$ và $\Delta KIF$.
- Do $IE$ và $IF$ đều vuông góc với $AB$ và $KC$ tương ứng, và $I$ là trung điểm của $AK$, nên $E, I, F$ thẳng hàng theo định lý đường trung bình trong tam giác vuông.

Vậy $E, I, F$ thẳng hàng.