Giải câu 49 Tính bán kính của viên bi? 3i? _-iu cao ca mực nước ban đầu rrnng ốố bằngg44,5cm.,,A. 4,2 cm. B. 3,6 cm.,C. 2,7 cm. D. 2,6 cm.,Câu 49. Một công ty mỹ phẩm chẩn bị ra một mẫu sản,phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một,,khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm,trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo,dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính,là $R=3\sqrt3cm.$ Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng,kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục,đích thu hút khách hàng).,$ extcircled A~V_{max}=108\pi cm^3.$ $ extcircled B~V_{max}=54\pi cm^3.$ $ extcircled C~V_{max}=18\pi cm^3.$ $ extcircled{D.}V_{max}=45\pi cm^3.$

Question

Giải câu 49 Tính bán kính của viên bi? 3i? _-iu cao ca mực nước ban đầu rrnng ốố bằngg44,5cm.,

,A. 4,2 cm. B. 3,6 cm.,C. 2,7 cm. D. 2,6 cm.,Câu 49. Một công ty mỹ phẩm chẩn bị ra một mẫu sản,phẩm dưỡng da mới mang tên Ngọc Trai với thiết kế một,

,khối cầu như viên ngọc trai, bên trong là một khối trụ nằm,trong nửa khối cầu để đựng kem dưỡng như hình vẽ. Theo,dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính,là $R=3\sqrt3cm.$ Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng,kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (với mục,đích thu hút khách hàng).,$ extcircled A~V_{max}=108\pi cm^3.$ $ extcircled B~V_{max}=54\pi cm^3.$ $ extcircled C~V_{max}=18\pi cm^3.$ $ extcircled{D.}V_{max}=45\pi cm^3.$

Accepted Answer

Gọi chiều cao của hình trụ là: $\displaystyle h$, bán kính đáy là $\displaystyle r$, và bán kính hình cầu là $\displaystyle R=3\sqrt{3}$.
Ta có, để thể tích của hình trụ là lớn nhất thì sẽ phải thỏa mãn đẳng thức sau:
$\displaystyle h^{2} +r^{2} =R^{2} =27$
Và ta cần tìm max của biểu thức: $\displaystyle V=\pi .r^{2} .h$
Ta thấy:
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho các số thực dương thì:
$\displaystyle h^{2} +r^{2} =27\Longrightarrow r^{2} =27-h^{2}$
Ta có:
$\displaystyle V=\pi .\left( 27-h^{2}\right) .h$
Xét hàm số: $\displaystyle f( h) =\left( 27-h^{2}\right) .h=27h-h^{3} \ \ ( h\in \left( 0;3\sqrt{3}\right)$
Suy ra: $\displaystyle f'( h) =27-3h^{2} =0\Leftrightarrow h=3$
$\displaystyle \Longrightarrow f_{max} =f( 3) =54\Rightarrow V_{max} =54\pi $

Chọn B