giúp mình ạ 31. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và diện tích bằng $10cm^2.$ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp,tam giác ABC . Gọi M, N PP lần lượt là hình chiếu của G trên các cạnh BC,CAAA BBBi,$OA=4cm,GO=3cm.$ Diện tích tam giác MNP bằng,$A.\frac{35}8cm^2.$ $B.\frac{35}2cm^2.$ $C.\frac{35}{32}cm^2.$ $D.\frac{125}{32}cm^2.$

Question

giúp mình ạ 31.  Cho tam giác  ABC có trọng tâm G và diện tích bằng $10cm^2.$ Gọi O  là tâm đường tròn ngoại tiếp,tam giác ABC . Gọi M, N  PP  lần lượt là hình chiếu của G trên các cạnh BC,CAAA   BBBi,$OA=4cm,GO=3cm.$ Diện tích tam giác MNP bằng,$A.\frac{35}8cm^2.$ $B.\frac{35}2cm^2.$ $C.\frac{35}{32}cm^2.$ $D.\frac{125}{32}cm^2.$

Accepted Answer

a, Gọi $\displaystyle AB=c;AC=b;BC=a$

Các đường trung tuyến AM; BN; CP lần lượt có độ dài $\displaystyle h_{a} ;h_{b} ;h_{c}$

$\displaystyle R$ là bán kính đường trong ngoại tiếp

$\displaystyle S$ là diện tích tam giác $\displaystyle ABC$

$\displaystyle d=GO$

Ta có: $\displaystyle riangle GMN$ có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\widehat{MGN} =180-\hat{C} ;GM=\dfrac{1}{3} h_{a}\
GN=\dfrac{1}{3} h_{b} \Rightarrow sin\widehat{MGN} =sinC\
\Rightarrow S_{GMN} =\dfrac{1}{2} .GM.GN.sinC\
=\dfrac{1}{18} h_{a} .h_{b} .sinC
\end{array}$

Theo định lý sin:$\displaystyle \dfrac{c}{sinC} =2R\Rightarrow sinC=\dfrac{c}{2R}$

$\displaystyle S=\dfrac{1}{2} ah_{a} \Rightarrow h_{a} =\dfrac{2S}{a}$

tương tự $\displaystyle h_{b} =\dfrac{2S}{b}$

$\displaystyle \Rightarrow S_{GMN} =\dfrac{1}{18} .\dfrac{2S}{a} .\dfrac{2S}{b} .\dfrac{c}{2R} =\dfrac{S^{2} c^{2}}{9abcR}$

Tương tự

$\displaystyle S_{GMP} =\dfrac{S^{2} a^{2}}{9abcR} ;S_{GPN} =\dfrac{S^{2} b^{2}}{9abcR}$

$\displaystyle \Rightarrow S_{MNP} =S_{GMP} +S_{GPN} +S_{GMN} =\dfrac{S^{2}}{9abcR}\left( a^{2} +b^{2} +c^{2} ight)$

Ta còn có: $\displaystyle S=\dfrac{4abc}{4R}$ và $\displaystyle a^{2} +b^{2} +c^{2} =9\left( R^{2} -d^{2} ight)$

$\displaystyle \Rightarrow S_{MNP} =\dfrac{R^{2} -d^{2}}{4R^{2}} .S=\dfrac{35}{32}$ cm$\displaystyle ^{2}$