làm giúp mình với nn

1. Đây là một bài toán về tam giác trong hình học phẳng, sử dụng công thức sin và cos của góc. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức sinC = 2sinBcosA và chứng minh rằng tam giác ABC cân. Đầu tiên, chúng ta biết rằng sinC = sin(180 - A - B) = sin(A + B). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: 2sinBcosA = sin(A + B). Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB để thay thế vào biểu thức trên, ta được: 2sinBcosA = sinAcosB + cosAsinB. Sắp xếp lại, ta được: sinAcosB - 2sinBcosA + cosAsinB = 0. Điều này chỉ có thể đúng nếu sinA = 2sinB hoặc cosA = 2cosB. Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều có A = B, do đó tam giác ABC là tam giác cân. 2. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức sinA = (sinB + sinC) / (cosB + cosC) và chứng minh rằng tam giác ABC vuông. Đầu tiên, chúng ta biết rằng sinA = sin(90 - B - C) = cos(B + C). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức ban đầu như sau: cos(B + C) = (sinB + sinC) / (cosB + cosC). Tiếp theo, chúng ta sử dụng công thức cos(B + C) = cosBcosC + sinBsinC để thay thế vào biểu thức trên, ta được: cosBcosC + sinBsinC = (sinB + sinC) / (cosB + cosC). Sắp xếp lại, ta được: cosBcosCcosBcosC + sinBsinCcosBcosC = sinB + sinC. Điều này chỉ có thể đúng nếu cosB = cosC hoặc sinB = sinC. Trong cả hai trường hợp, chúng ta đều có B = C, do đó tam giác ABC là tam giác vuông. 3. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức asinA + bsinB + csinC = ha + hb + hc và chứng minh rằng tam giác ABC đều. Đầu tiên, chúng ta biết rằng sinA = a / 2R, sinB = b / 2R và sinC = c / 2R, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: a^2 / 2R + b^2 / 2R + c^2 / 2R = ha + hb + hc. Sắp xếp lại, ta được: a^2 + b^2 + c^2 = 2R(ha + hb + hc). Điều này chỉ có thể đúng nếu a = b = c, do đó tam giác ABC là tam giác đều. 4. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức b + c = 2a và chứng minh rằng sinB + sinC = 2sinA. Đầu tiên, chúng ta biết rằng sinB = b / 2R và sinC = c / 2R, trong đó R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: b / 2R + c / 2R = 2a. Sắp xếp lại, ta được: b + c = 4aR. Điều này chỉ có thể đúng nếu b + c = 2a, do đó sinB + sinC = 2sinA. 5. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức (a + b + c)(a + b - c) = 3ab và tính số đo của góc C. Đầu tiên, chúng ta biết rằng cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / 2ab. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: (a + b + c)(a + b - c) = 3ab. Sắp xếp lại, ta được: a^2 + b^2 - c^2 = 3ab / (a + b + c). Điều này chỉ có thể đúng nếu a^2 + b^2 - c^2 = 3ab / (a + b + c), do đó cosC = 3ab / (a + b + c). 6. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức 3ha = 2hb + hc và tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c. Đầu tiên, chúng ta biết rằng ha = 2A / a, hb = 2B / b và hc = 2C / c, trong đó A, B, C là diện tích của tam giác ABC. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: 3(2A / a) = 2(2B / b) + 2C / c. Sắp xếp lại, ta được: 6A = 4B + 2C. Điều này chỉ có thể đúng nếu 6A = 4B + 2C, do đó a = 2b + c. 7. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức P = (AM^2 + BN^2 + CP^2) / (AB^2 + BC^2 + CA^2) và xác định loại tam giác ABC khi P đạt giá trị nhỏ nhất. Đầu tiên, chúng ta biết rằng AM = a / 2, BN = b / 2 và CP = c / 2, trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: P = (a^2 / 4 + b^2 / 4 + c^2 / 4) / (AB^2 + BC^2 + CA^2). Sắp xếp lại, ta được: P = (a^2 + b^2 + c^2) / 4(AB^2 + BC^2 + CA^2). Điều này chỉ có thể đúng nếu a^2 + b^2 + c^2 = 4(AB^2 + BC^2 + CA^2), do đó tam giác ABC là tam giác đều. 8. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức S = m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 và chứng minh rằng S = 3/4(a^2 + b^2 + c^2). Đầu tiên, chúng ta biết rằng m_a = a / 2, m_b = b / 2 và m_c = c / 2, trong đó a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC. Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: S = (a^2 / 4 + b^2 / 4 + c^2 / 4). Sắp xếp lại, ta được: S = (a^2 + b^2 + c^2) / 4. Điều này chỉ có thể đúng nếu a^2 + b^2 + c^2 = 4S, do đó S = 3/4(a^2 + b^2 + c^2). 9. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng công thức cotC = 2(cotA + cotB) và chứng minh rằng AA' ⊥ BB'. Đầu tiên, chúng ta biết rằng cotC = (cosC / sinC) = (cos(180 - A - B) / sin(180 - A - B)) = -(cotA + cotB). Thay thế vào biểu thức ban đầu, ta được: -(cotA + cotB) = 2(cotA + cotB). Sắp xếp lại, ta được: 3cotA + 3cotB = 0. Điều này chỉ có thể đúng nếu cotA = -cotB, do đó AA' ⊥ BB'.