Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho khi chia a cho 7,cho 9 , cho 11 thì có số dư lần lượt là 1;4;6

Đầu tiên, chúng ta cần tìm số tự nhiên nhỏ nhất a sao cho khi chia a cho 7, 9, và 11 thì có số dư lần lượt là 1, 4, và 6. Đây là một bài toán về hệ phương trình đồng dư. Hệ phương trình đồng dư của bài toán này là: \[ \begin{cases} a \equiv 1 \pmod{7} \\ a \equiv 4 \pmod{9} \\ a \equiv 6 \pmod{11} \end{cases} \] Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng cách sử dụng định lý Trung Hoa. Đầu tiên, tính tích của các mô-đun: $M = 7 \times 9 \times 11 = 693$. Tiếp theo, tính các giá trị $M_i = M / m_i$ (với $m_i$ là một trong các mô-đun), ta được: $M_1 = 99$, $M_2 = 77$, và $M_3 = 63$. Sau đó, tìm các số $y_i$ sao cho $M_i \cdot y_i \equiv 1 \pmod{m_i}$, ta được: $y_1 = 1$, $y_2 = 5$, và $y_3 = 4$. Cuối cùng, tính giá trị của a theo công thức sau: \[a = (b_1 \cdot M_1 \cdot y_1 + b_2 \cdot M_2 \cdot y_2 + b_3 \cdot M_3 \cdot y_3) \mod M\] Thay các giá trị đã tìm được vào, ta được: \[a = (1 \cdot 99 \cdot 1 + 4 \cdot 77 \cdot 5 + 6 \cdot 63 \cdot 4) \mod 693 = 589\] Vậy số tự nhiên nhỏ nhất a thỏa mãn điều kiện đề bài là 589.