Bài 3.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang có đáy lớn AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD. a) Chứng minh AD || (BMN) b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, chứng minh BN, CM, SO đồng quy

1. Loại bài toán và ý tưởng chính: Bài toán này thuộc loại bài toán về hình học không gian, cụ thể là hình chóp và hình thang. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các định lý và tính chất của hình chóp, hình thang và song song. Các bước logic để giải quyết bài toán: a) Để chứng minh $AD || (BMN)$, ta cần chứng minh rằng $AD$ song song với một đường thẳng nằm trên mặt phẳng $(BMN)$. b) Để chứng minh $BN, CM, SO$ đồng quy, ta cần chứng minh rằng ba đường thẳng này cắt nhau tại một điểm. 2. Giải quyết bài toán từng bước: a) Chứng minh $AD || (BMN)$: - Ta có $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SD$ nên $SM = MA, SN = ND$. - Do đó, ta có $SAMD$ là hình bình hành. - Từ đây, ta suy ra được $AD || SM$ và $AD || SN$. - Vì $SM, SN$ đều thuộc mặt phẳng $(BMN)$ nên $AD || (BMN)$. b) Chứng minh $BN, CM, SO$ đồng quy: - Ta có $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. - Do đó, ta có $BO = OD, CO = OA$. - Vì $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA, SD$ nên $SM = MA, SN = ND$. - Từ đây, ta suy ra được $BN = 2BO = 2OD = DN$ và $CM = 2CO = 2OA = AM$. - Vì vậy, $BN, CM, SO$ đồng quy tại điểm $O$.