tìm số tự nhiên nhỏ nhất a sao cho khi chia a cho 7, 9, và 11 thì có số dư lần lượt là 1, 4, và 6 (đáp án 589) Các bạn trình bày giúp mik với

Đầu tiên, chúng ta cần giải quyết bài toán tìm số tự nhiên nhỏ nhất $a$ sao cho khi chia $a$ cho 7, 9, và 11 thì có số dư lần lượt là 1, 4, và 6. Đây là một bài toán về phương pháp Trung Hoa cổ đại (Chinese Remainder Theorem). Bước 1: Viết bài toán dưới dạng hệ phương trình: \begin{align*} a \equiv 1 \pmod{7} \\ a \equiv 4 \pmod{9} \\ a \equiv 6 \pmod{11} \end{align*} Bước 2: Tính tích của các mô-đun: $N = 7 \times 9 \times 11 = 693$ Bước 3: Tính $n_i = N / n_i$ với $n_i$ là mỗi mô-đun trong hệ phương trình: \begin{align*} n_1 = N / 7 = 99 \\ n_2 = N / 9 = 77 \\ n_3 = N / 11 = 63 \end{align*} Bước 4: Tìm nghịch đảo modulo của $n_i$ theo $n_i$: \begin{align*} m_1 = n_1^{-1} \pmod{7} = 99^{-1} \pmod{7} = 1 \\ m_2 = n_2^{-1} \pmod{9} = 77^{-1} \pmod{9} = 5 \\ m_3 = n_3^{-1} \pmod{11} = 63^{-1} \pmod{11} = 1 \end{align*} Bước 5: Tính $a$ theo công thức sau: $a = (b_1 \times m_1 \times n_1 + b_2 \times m_2 \times n_2 + b_3 \times m_3 \times n_3) \pmod{N}$ Thay các giá trị đã tìm được vào, ta có: $a = (1 \times 1 \times 99 + 4 \times 5 \times 77 + 6 \times 1 \times 63) \pmod{693} = 589$ Vậy số tự nhiên nhỏ nhất $a$ thỏa mãn điều kiện đề bài là 589.