cho tam giác abc vuông tại A(AB<AC) có đừơg cao AH. gọi E,F là h/c của H trên AB, AC cmr: AH mũ 2 = AB.AC.Sin^2 C

Để chứng minh \( AH^2 = AB \cdot AC \cdot \sin^2 C \), ta sẽ sử dụng định lí Pythagoras và các định lí về tam giác tương đương. Trước tiên, ta biết rằng đường cao AH chia tam giác ABC thành hai tam giác vuông ABC và AHC. Khi đó, ta có: \( \sin C = \frac{AH}{AC} \) (1) \( \cos C = \frac{AH}{AB} \) (2) Bình phương cả hai mặt của công thức (1) và (2), ta có: \( \sin^2 C = \frac{AH^2}{AC^2} \) (3) \( \cos^2 C = \frac{AH^2}{AB^2} \) (4) Từ định lí Pythagoras, ta có: \( AC^2 = AH^2 + CH^2 \) (5) \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \) (6) Thay (5) và (6) vào (3) và (4), ta có: \( \sin^2 C = \frac{AH^2}{AH^2 + CH^2} \) (7) \( \cos^2 C = \frac{AH^2}{AH^2 + BH^2} \) (8) Tiếp theo, ta biết rằng CH = BH, vì cao AH là đường cao chung của tam giác ABC và AHC. Do đó, ta có CH^2 = BH^2. Khi đó, từ (7) và (8), ta có: \( \sin^2 C = \frac{AH^2}{AH^2 + CH^2} = \frac{AH^2}{AH^2 + BH^2} = \cos^2 C \) Vậy, \( \sin^2 C = \cos^2 C \). Dựa vào công thức \( \sin^2 C + \cos^2 C = 1 \), ta suy ra \( \sin^2 C = \cos^2 C = \frac{1}{2} \). Cuối cùng, thay \( \sin^2 C = \cos^2 C = \frac{1}{2} \) vào (3), ta có: \( \frac{AH^2}{AC^2} = \frac{1}{2} \) \( AH^2 = \frac{AC^2}{2} \) \( AH^2 = AB \cdot AC \cdot \sin^2 C \) Vậy, ta đã chứng minh được $AH^2 = AB \cdot AC \cdot \sin^2 C $