Cho tam giác ABC nhọn biết AB < AC.Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H.Qua B và C lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với AB và AC chúng cắt nhau tại K. 1. Chứng minh tử giác BHCK là hình bình hành....

Đây là một bài toán về hình học không gian, cụ thể là về tam giác và tứ giác. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các kiến thức về đường cao trong tam giác, hình bình hành và góc giữa hai đường thẳng. 1. Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, chúng ta cần chứng minh được hai đường chéo của tứ giác đó cắt nhau tại một điểm và chia nhau thành hai đoạn bằng nhau. Trong trường hợp này, chúng ta cần chứng minh HC = KB và HB = KC. 2. Để chứng minh tứ giác BQCF là hình gì, chúng ta cần xem xét các cạnh và góc của nó. Nếu tứ giác có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau, thì nó là hình bình hành. Nếu chỉ có một cặp cạnh đối diện bằng nhau, thì nó là hình bẹt. Nếu không có cạnh nào bằng nhau, thì nó là hình tự do. 3. Để tính góc FEQ, chúng ta cần sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng: $\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$, trong đó $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là hai vector chỉ phương của hai đường thẳng, và $\theta$ là góc giữa chúng. Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết bài toán từng bước một: 1. Để chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, ta cần chứng minh HC // BK và HB // KC. - Ta có $\angle{HBC} = 90^{\circ} = \angle{HKB}$ nên HC // BK (theo định lý góc so le). - Tương tự, $\angle{BHC} = 90^{\circ} = \angle{BCK}$ nên HB // KC. - Vậy tứ giác BHCK là hình bình hành. 2. Để xác định hình dạng của tứ giác BQCF, ta cần kiểm tra các cạnh và góc của nó: - Ta có $\angle{CBQ} = 90^{\circ} = \angle{CFB}$ nên BQ // CF (theo định lý góc so le). - Ta cũng có $\angle{QBC} = \angle{FBC}$ và $\angle{BCQ} = \angle{BCF}$ nên $\triangle{BCQ} \sim \triangle{BCF}$ (theo định lý tam giác đồng dạng). - Vậy tứ giác BQCF là hình bình hành. 3. Để tính góc FEQ, ta cần tìm vector chỉ phương của FE và EQ: - Vector chỉ phương của FE là $\vec{FE} = \vec{F} - \vec{E}$. - Vector chỉ phương của EQ là $\vec{EQ} = \vec{E} - \vec{Q}$. - Sử dụng công thức tính góc giữa hai đường thẳng, ta có $\cos(\theta) = \frac{\vec{FE} \cdot \vec{EQ}}{|\vec{FE}| |\vec{EQ}|}$. - Tính toán để tìm ra giá trị của $\theta$. Lưu ý rằng trong quá trình giải quyết bài toán này, chúng ta đã sử dụng nhiều kiến thức về hình học không gian, bao gồm định lý góc so le, định lý tam giác đồng dạng và công thức tính góc giữa hai đường thẳng.