Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho các điểm A(4; -1; 2), B(1; 2; 2) và C(1; -1; 5). a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều. b) Viết phương trình mp(ABC). Tính thể tích khối tứ diện giới hạn bởi m...

Để giải câu này, chúng ta sẽ làm từng phần một. a) Để chứng minh rằng ABC là tam giác đều, ta cần kiểm tra xem các cạnh của tam giác có bằng nhau hay không. Ta tính độ dài các cạnh AB, AC và BC bằng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} Với A(4, -1, 2) và B(1, 2, 2), ta tính được: AB = \sqrt{(1 - 4)^2 + (2 - (-1))^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} Tương tự, ta tính được AC và BC: AC = \sqrt{(1 - 4)^2 + (-1 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{9 + 0 + 9} = \sqrt{18} BC = \sqrt{(1 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{0 + 9 + 9} = \sqrt{18} Ta thấy rằng AB = AC = BC = \sqrt{18}, vậy ta kết luận rằng ABC là tam giác đều. b) Để viết phương trình mặt phẳng mp(ABC), ta cần tìm được vector pháp tuyến của mặt phẳng. Ta lấy hai vector chỉ phương AB và AC, sau đó tính tích có hướng của hai vector này để tìm vector pháp tuyến. Vector chỉ phương AB là \vec{AB} = \begin{bmatrix} 1 - 4 \\ 2 - (-1) \\ 2 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} Vector chỉ phương AC là \vec{AC} = \begin{bmatrix} 1 - 4 \\ -1 - (-1) \\ 5 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} Tích có hướng của hai vector này là: \vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{bmatrix} -3 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ -9 \\ -9 \end{bmatrix} Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng mp(ABC) là \vec{n} = \begin{bmatrix} 9 \\ -9 \\ -9 \end{bmatrix}. Để viết phương trình mặt phẳng, ta lấy một điểm thuộc mặt phẳng, ví dụ A(4, -1, 2), và thay vào phương trình mặt phẳng chung: 9x + 9y + 9z + d = 0 Thay A vào, ta có: 9(4) + 9(-1) + 9(2) + d = 0 36 - 9 + 18 + d = 0 45 + d = 0 d = -45 Vậy phương trình mặt phẳng mp(ABC) là: 9x + 9y + 9z - 45 = 0 c) Để viết phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta cần tìm được tâm và bán kính của đường tròn. Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của các đỉnh A, B và C. Ta tính được: Tâm O = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}, \frac{z_A + z_B + z_C}{3}\right) = \left(\frac{4 + 1 + 1}{3}, \frac{-1 + 2 + (-1)}{3}, \frac{2 + 2 + 5}{3}\right) = \left(\frac{6}{3}, \frac{0}{3}, \frac{9}{3}\right) = (2, 0, 3) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là khoảng cách từ tâm O đến một trong các đỉnh A, B hoặc C. Ta tính được: R = \sqrt{(x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 + (z - z_O)^2} Với A(4, -1, 2), ta tính được: R = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 0)^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{6} Vậy phương trình trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: \frac{x - 2}{9} = \frac{y - 0}{9} = \frac{z - 3}{9} d) Để tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ diện đều, ta cần tìm một điểm D sao cho các cạnh AD, BD và CD có độ dài bằng nhau. Ta biết rằng ABC là tam giác đều, vậy ta có: AD = BD = CD = AB = \sqrt{18} Để tìm tọa độ của D, ta sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian: AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2 + (z_D - z_A)^2} Thay vào giá trị đã biết, ta có: \sqrt{18} = \sqrt{(x_D - 4)^2 + (y_D - (-1))^2 + (z_D - 2)^2} Bình phương cả hai vế, ta có: 18 = (x_D - 4)^2 + (y_D + 1)^2 + (z_D - 2)^2 Mở ngoặc và rút gọn, ta có: 18 = x_D^2 - 8x_D + 16 + y_D^2 + 2y_D + 1 + z_D^2 - 4z_D + 4 Tổng hợp các hạng tử tương tự, ta có: x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 - 8x_D + 2y_D - 4z_D + 21 = 0 Vậy phương trình của mặt phẳng ABCD là: x_D^2 + y_D^2 + z_D^2 - 8x_D + 2y_D - 4z_D + 21 = 0 Để tìm tọa độ của D, ta giải phương trình này. Kết quả là: [x_D, y_D, z_D] = [4.82842712, -1.41421356, 1.58578644] Vậy tọa độ của điểm D là [4.82842712, -1.41421356, 1.58578644].