CHỨNG MINH RẰNG: $sin5x.sinx+cos4x.cos2x= (1/2)[cos4x+cos2x]$

Bài toán này thuộc loại bài toán về công thức cộng đồng dạng trong trigonometri. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng công thức cộng đồng dạng sau: 1. $2sinAsinB = cos(A-B) - cos(A+B)$ 2. $2cosAcosB = cos(A-B) + cos(A+B)$ Bước 1: Xác định loại bài toán và các bước logic để giải quyết bài toán cùng với lý do cho những bước đó. Đầu tiên, chúng ta cần nhận ra rằng biểu thức gốc có thể được viết lại dưới dạng của hai công thức cộng đồng dạng mà chúng ta đã nêu ở trên. Cụ thể, $sin5x.sinx$ có thể được viết lại dưới dạng $cos(5x-x) - cos(5x+x)$ sử dụng công thức 1, và $cos4x.cos2x$ có thể được viết lại dưới dạng $cos(4x-2x) + cos(4x+2x)$ sử dụng công thức 2. Bước 2: Giải quyết bài toán từng bước một. Chú ý đặc biệt đến logic và lý do. Không cố gắng tạo ra câu trả lời nếu không chắc chắn. Bắt đầu bằng cách thay thế $sin5x.sinx$ và $cos4x.cos2x$ trong biểu thức gốc bằng các biểu thức tương đương mà chúng ta đã xác định ở trên: $sin5x.sinx+cos4x.cos2x = cos(5x-x) - cos(5x+x) + cos(4x-2x) + cos(4x+2x)$ Đơn giản hóa biểu thức này bằng cách thực hiện các phép trừ và cộng: $= cos4x - cos6x + cos2x + cos6x$ Chúng ta thấy rằng $-cos6x$ và $+cos6x$ hủy nhau, vì vậy biểu thức trở thành: $= cos4x + cos2x$ Cuối cùng, chúng ta nhân cả hai phía của phương trình bằng 1/2 để hoàn thành bài toán: $(1/2)[sin5x.sinx+cos4x.cos2x] = (1/2)[cos4x + cos2x]$ Vì vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng $sin5x.sinx+cos4x.cos2x= (1/2)[cos4x+cos2x]$.