Câu 1:
a) Để giải phép tính $\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{125}-\sqrt{180}$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta tìm căn bậc hai của từng số trong biểu thức. Ta có:
$\sqrt{20}-\sqrt{45}+\sqrt{125}-\sqrt{180}$
= $\sqrt{4 \cdot 5}-\sqrt{9 \cdot 5}+\sqrt{25 \cdot 5}-\sqrt{36 \cdot 5}$
= $2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-6\sqrt{5}$
- Tiếp theo, ta kết hợp các căn bậc hai có cùng căn số để thu được một kết quả cuối cùng. Ta có:
$2\sqrt{5}-3\sqrt{5}+5\sqrt{5}-6\sqrt{5}$
= $(2-3+5-6)\sqrt{5}$
= $-2\sqrt{5}$
Vậy kết quả cuối cùng của phép tính là $-2\sqrt{5}$.
b) Để tính giá trị của biểu thức $\sqrt{3a^2}.\sqrt{12a}$ với $a\geq0$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng tính chất của căn bậc hai để rút gọn biểu thức. Ta có:
$\sqrt{3a^2}.\sqrt{12a}$
= $\sqrt{3 \cdot a^2 \cdot 4}.\sqrt{3 \cdot 4 \cdot a}$
= $2a\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3a}$
= $4a\sqrt{3a}$
Vậy kết quả cuối cùng của biểu thức là $4a\sqrt{3a}$.
c) Để giải phương trình $\sqrt{x^2-6x+9}=3-2x$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta bình phương cả hai vế của phương trình để loại bỏ căn bậc hai. Ta có:
$(\sqrt{x^2-6x+9})^2=(3-2x)^2$
$x^2-6x+9=9-12x+4x^2$
$3x^2+6x=0$
- Tiếp theo, ta rút gọn phương trình bằng cách chia cả hai vế cho 3. Ta có:
$x^2+2x=0$
- Sau đó, ta sử dụng tính chất của phương trình bậc hai để tìm nghiệm. Ta có:
$x(x+2)=0$
- Từ đó, ta suy ra hai giá trị của x là x = 0 và x = -2.
Vậy các nghiệm của phương trình là x = 0 và x = -2.
Câu 2:
a) Để rút gọn biểu thức $A=(\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac1{\sqrt x(\sqrt x-1)}):(\frac1{\sqrt x+1}+\frac2{x-1})$ với $x>0,x\ne1$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng tính chất của phân số để tìm chung mẫu số. Ta có:
$\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}-\frac1{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{\sqrt x \cdot \sqrt x + 1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}-\frac1{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{\sqrt x \cdot \sqrt x + 1 - 1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{x}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
$\frac1{\sqrt x+1}+\frac2{x-1}$
= $\frac1{\sqrt x+1} \cdot \frac{\sqrt x-1}{\sqrt x-1}+\frac2{x-1} \cdot \frac{\sqrt x+1}{\sqrt x+1}$
= $\frac{\sqrt x-1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}+\frac{2(\sqrt x+1)}{(\sqrt x+1)(\sqrt x-1)}$
= $\frac{\sqrt x-1+2(\sqrt x+1)}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{\sqrt x-1+2\sqrt x+2}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{3\sqrt x+1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
- Tiếp theo, ta thực hiện phép chia giữa hai biểu thức đã rút gọn. Ta có:
$\frac{x}{\sqrt x(\sqrt x-1)}:\frac{3\sqrt x+1}{\sqrt x(\sqrt x-1)}$
= $\frac{x}{\sqrt x(\sqrt x-1)} \cdot \frac{\sqrt x(\sqrt x-1)}{3\sqrt x+1}$
= $\frac{x}{3\sqrt x+1}$
Vậy biểu thức $A$ sau khi được rút gọn là $\frac{x}{3\sqrt x+1}$.
b) Để tìm giá trị của $x$ để $A>0$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta xét điều kiện để mẫu số của $A$ khác 0. Ta có:
$3\sqrt x+1 \ne 0$
$3\sqrt x \ne -1$
$\sqrt x \ne -\frac13$
- Tiếp theo, ta xét điều kiện để tử số và mẫu số của $A$ cùng dấu. Ta có:
$x > 0$ và $3\sqrt x+1 > 0$ hoặc $x < 0$ và $3\sqrt x+1 < 0$
- Từ đó, ta suy ra hai trường hợp:
+ Trường hợp 1: $x > 0$ và $3\sqrt x+1 > 0$
$\Rightarrow x > 0$ và $\sqrt x > -\frac13$
$\Rightarrow x > 0$ và $x > \frac19$
$\Rightarrow x > \frac19$
+ Trường hợp 2: $x < 0$ và $3\sqrt x+1 < 0$
$\Rightarrow x < 0$ và $\sqrt x < -\frac13$
$\Rightarrow x < 0$ và $x < \frac19$
$\Rightarrow x < \frac19$
Vậy các giá trị của $x$ để $A>0$ là $x > \frac19$ hoặc $x < \frac19$.
Câu 3:
a) Để tính góc $\widehat C$ trong tam giác vuông ABC, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng công thức của tổng các góc trong tam giác để tính. Ta có:
$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^0$
$90^0 + 35^0 + \widehat C = 180^0$
$125^0 + \widehat C = 180^0$
$\widehat C = 180^0 - 125^0$
$\widehat C = 55^0$
Vậy góc $\widehat C$ trong tam giác ABC là $55^0$.
b) Để tính độ dài cạnh AB và AC trong tam giác vuông ABC, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng định lý Pythagoras để tính. Ta có:
$AB^2 + BC^2 = AC^2$
$AB^2 + 20^2 = AC^2$
$AB^2 + 400 = AC^2$
- Tiếp theo, ta sử dụng công thức của sin để tính độ dài cạnh AB và AC. Ta có:
$\sin \widehat B = \frac{BC}{AC}$
$\sin 35^0 = \frac{20}{AC}$
$AC = \frac{20}{\sin 35^0}$
- Sau đó, ta thay giá trị của AC vào phương trình Pythagoras để tính độ dài cạnh AB. Ta có:
$AB^2 + 400 = (\frac{20}{\sin 35^0})^2$
$AB^2 + 400 = \frac{400}{\sin^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400}{\sin^2 35^0} - 400$
$AB^2 = \frac{400 - 400\sin^2 35^0}{\sin^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400(1 - \sin^2 35^0)}{\sin^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{\sin^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{1 - \cos^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{\sin^2 55^0}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{(1 - \cos^2 35^0)(1 - \cos^2 55^0)}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{(1 - \cos^2 35^0)(1 - \sin^2 35^0)}$
$AB^2 = \frac{400\cos^2 35^0}{\sin^2 35^0\cos^2 35^0}$
$AB^2 = \frac{400}{\sin^2 35^0}$
- Cuối cùng, ta tính căn bậc hai của $AB^2$ để tìm độ dài cạnh AB. Ta có:
$AB = \sqrt{\frac{400}{\sin^2 35^0}}$
Vậy độ dài cạnh AB và AC trong tam giác ABC là $\sqrt{\frac{400}{\sin^2 35^0}}$ và $\frac{20}{\sin 35^0}$.
c) Để tính độ dài cạnh AH, BH và CH trong tam giác vuông ABC, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng công thức của sin để tính. Ta có:
$\sin \widehat B = \frac{BC}{AC}$
$\sin 35^0 = \frac{BC}{20}$
$BC = 20\sin 35^0$
- Tiếp theo, ta sử dụng công thức của cos để tính. Ta có:
$\cos \widehat B = \frac{AB}{AC}$
$\cos 35^0 = \frac{AB}{20}$
$AB = 20\cos 35^0$
- Sau đó, ta tính độ dài cạnh AH, BH và CH bằng cách sử dụng công thức của sin. Ta có:
$\sin \widehat A = \frac{AH}{AB}$
$\sin 90^0 = \frac{AH}{20\cos 35^0}$
$1 = \frac{AH}{20\cos 35^0}$
$AH = 20\cos 35^0$
$\sin \widehat C = \frac{CH}{BC}$
$\sin 55^0 = \frac{CH}{20\sin 35^0}$
$\frac{\sin 55^0}{\sin 35^0} = \frac{CH}{20}$
$CH = 20\cdot\frac{\sin 55^0}{\sin 35^0}$
$\sin \widehat B = \frac{BH}{BC}$
$\sin 35^0 = \frac{BH}{20\sin 35^0}$
$BH = 20\sin 35^0$
Vậy độ dài cạnh AH, BH và CH trong tam giác ABC là $20\cos 35^0$, $20\sin 35^0$ và $20\cdot\frac{\sin 55^0}{\sin 35^0}$.
Câu 4:
Để tính đoạn đường máy bay phải bay để đạt độ cao 2000m với góc $25^0$, ta thực hiện các bước sau đây:
- Đầu tiên, ta sử dụng công thức của sin để tính. Ta có:
$\sin \widehat A = \frac{h}{d}$
$\sin 25^0 = \frac{2000}{d}$
$d = \frac{2000}{\sin 25^0}$
Vậy đoạn đường máy bay phải bay là $\frac{2000}{\sin 25^0}$ mét (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).