.............

Loại bài toán này là bài toán về hình học không gian, cụ thể là về đường tròn và tam giác. Ý tưởng chính để giải quyết bài toán này là sử dụng các tính chất của đường tròn ngoại tiếp và tam giác, cũng như các tính chất của phép đối xứng qua một điểm. Các bước logic để giải quyết bài toán này như sau: 1. Xác định các điểm $A^\prime,B^\prime,C^\prime$ là các điểm đối xứng của A,B,C qua O. 2. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A^\prime B^\prime C^\prime,A^\prime BC,B^\prime CA,C^\prime AB$. 3. Chứng minh rằng các đường tròn này có điểm chung. Lý do cho các bước này là vì chúng ta cần tìm ra mối liên hệ giữa các đường tròn ngoại tiếp và các điểm đối xứng qua O. Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết bài toán theo từng bước: 1. Theo đề bài, $A^\prime,B^\prime,C^\prime$ lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua O. Điều này có nghĩa là $OA = OA^\prime, OB = OB^\prime, OC = OC^\prime$. 2. Vẽ các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $A^\prime B^\prime C^\prime,A^\prime BC,B^\prime CA,C^\prime AB$. Gọi chúng là $(O_1), (O_2), (O_3), (O_4)$. 3. Chúng ta cần chứng minh rằng các đường tròn này có điểm chung. Để làm điều này, chúng ta sẽ chứng minh rằng tâm của mỗi đường tròn là cùng một điểm. - Đầu tiên, xét đường tròn $(O_1)$ của tam giác $A^\prime B^\prime C^\prime$. Tâm của đường tròn này là giao điểm của các trung trực của tam giác $A^\prime B^\prime C^\prime$. Do $A^\prime,B^\prime,C^\prime$ lần lượt là các điểm đối xứng của A,B,C qua O nên $O$ là trung điểm của $AA^\prime, BB^\prime, CC^\prime$. Vì vậy, $O$ cũng là giao điểm của các trung trực của tam giác $A^\prime B^\prime C^\prime$, tức là tâm của $(O_1)$. - Tiếp theo, xét đường tròn $(O_2)$ của tam giác $A^\prime BC$. Tương tự như trên, $O$ cũng là tâm của $(O_2)$. - Tương tự, $O$ cũng là tâm của $(O_3)$ và $(O_4)$. Vậy, tất cả các đường tròn $(O_1), (O_2), (O_3), (O_4)$ đều có cùng tâm $O$, nghĩa là chúng có điểm chung.