........................

Bài toán này thuộc loại bài toán về tỉ số đoạn trong tam giác và trọng tâm. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần áp dụng các định lý và tính chất của trọng tâm, trung tuyến trong tam giác. 1. Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định tỉ số đoạn BE/AE và MG/AG. Chúng ta sẽ chứng minh rằng tỉ số này bằng nhau bằng cách sử dụng định lý về tỉ số đoạn trên đường thẳng song song. 2. Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng tổng của tỉ số BE/AE và CF/AF bằng 1. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng định lý về tỉ số đoạn trên đường thẳng song song và tính chất của trọng tâm. Bây giờ, chúng ta hãy bắt đầu giải quyết từng phần của bài toán: a) Chúng ta cần chứng minh $\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG}$. Vì BM // GE (do cả hai đều song song với EF), nên ta có $\frac{BM}{GE}=\frac{BA}{GA}$ (theo định lý về tỉ số đoạn trên đường thẳng song song). Nhưng ta biết rằng $BM=BE$ và $GA=AE+AG$, nên $\frac{BE}{AE+AG}=\frac{BA}{GA}$. Vì AD là trung tuyến, nên $AG=2AE$ và $GA=2AE+AE=3AE$. Thay vào phương trình trên, ta được $\frac{BE}{3AE}=\frac{BA}{3AE}$, từ đó suy ra $\frac{BE}{AE}=\frac{MG}{AG}$. b) Chúng ta cần chứng minh $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=1$. Tương tự như trên, ta có $\frac{CN}{GF}=\frac{CA}{FA}$ và $\frac{CF}{FA+AF}=\frac{CA}{FA}$. Vì AD là trung tuyến, nên $AF=2CF$ và $FA=2CF+CF=3CF$. Thay vào phương trình trên, ta được $\frac{CF}{3CF}=\frac{CA}{3CF}$, từ đó suy ra $\frac{CF}{CF}=1$. Vậy, $\frac{BE}{AE}+\frac{CF}{AF}=\frac{MG}{AG}+1=1$.