CMR các biểu thức sau luôn ghi nhận giá trị dương với mọi biến (x-1)(x-2)+5

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán mà chúng ta đang giải quyết. Bài toán này là một bài toán về biểu thức đa thức và yêu cầu chúng ta chứng minh rằng biểu thức đa thức luôn nhận giá trị dương. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta cần sử dụng một số ý tưởng chính sau: 1. Chúng ta cần phân tích biểu thức đa thức để xem nó có thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương không. 2. Nếu có, chúng ta có thể sử dụng tính chất của bình phương (luôn không âm) để chứng minh rằng biểu thức đa thức luôn dương. Bây giờ, hãy bắt đầu giải quyết bài toán theo từng bước: Biểu thức đa thức cho trước là $(x-1)(x-2)+5$. Bước 1: Phân tích biểu thức Chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau: \begin{align*} (x-1)(x-2)+5 &= x^2 - 3x + 2 + 5 \\ &= x^2 - 3x + 7 \end{align*} Bước 2: Kiểm tra xem biểu thức có thể được viết dưới dạng tổng của hai bình phương không Chúng ta có thể viết lại biểu thức như sau: \begin{align*} x^2 - 3x + 7 &= (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{4} + 7 \\ &= (x - \frac{3}{2})^2 + \frac{29}{4} \end{align*} Vì $(x - \frac{3}{2})^2$ và $\frac{29}{4}$ đều không âm, nên tổng của chúng cũng không âm. Tuy nhiên, vì $\frac{29}{4}$ luôn dương, nên tổng này luôn dương. Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức $(x-1)(x-2)+5$ luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của $x$.