Giải bài 28

Đầu tiên, chúng ta cần xác định loại bài toán này. Đây là một bài toán về quan hệ tương đương trong lý thuyết tập hợp. 1. Để giải bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về khái niệm quan hệ tương đương. Một quan hệ R trên tập A được gọi là quan hệ tương đương nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau: - Phản xạ: $\forall a \in A: a~R~a$ - Đối xứng: $\forall a, b \in A: a~R~b \Rightarrow b~R~a$ - Bắc cầu: $\forall a, b, c \in A: a~R~b$ và $b~R~c \Rightarrow a~R~c$ 2. Với mỗi quan hệ đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra xem nó có thỏa mãn ba tính chất trên hay không. Bắt đầu giải bài toán: a) Kiểm tra quan hệ S: - Phản xạ: Một số tự nhiên luôn nguyên tố với chính nó. Vì vậy, quan hệ S không thỏa mãn tính chất phản xạ. - Đối xứng: Nếu a và b không nguyên tố cùng nhau thì b và a cũng không nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, quan hệ S thỏa mãn tính chất đối xứng. - Bắc cầu: Nếu a và b không nguyên tố cùng nhau, và b và c không nguyên tố cùng nhau, thì a và c có thể không nguyên tố cùng nhau. Vì vậy, quan hệ S không thỏa mãn tính chất bắc cầu. Vậy, quan hệ S không phải là quan hệ tương đương. Tiếp theo, kiểm tra quan hệ T: - Phản xạ: Một số tự nhiên luôn có cùng chữ số hàng đơn vị với chính nó. Vì vậy, quan hệ T thỏa mãn tính chất phản xạ. - Đối xứng: Nếu a và b có cùng chữ số hàng đơn vị thì b và a cũng có cùng chữ số hàng đơn vị. Vì vậy, quan hệ T thỏa mãn tính chất đối xứng. - Bắc cầu: Nếu a và b có cùng chữ số hàng đơn vị, và b và c có cùng chữ số hàng đơn vị, thì a và c cũng có cùng chữ số hàng đơn vị. Vì vậy, quan hệ T thỏa mãn tính chất bắc cầu. Vậy, quan hệ T là quan hệ tương đương. b) Tập thương tương ứng với quan hệ tương đương T gồm 10 phần tử, mỗi phần tử là tập hợp các số tự nhiên có cùng chữ số hàng đơn vị. Cụ thể, các phần tử của tập thương là: $\{0, 10, 20, 30, ...\}$, $\{1, 11, 21, 31, ...\}$, ..., $\{9, 19, 29, 39, ...\}$.