tính tổng của dãy số sau ζ(s) = 1 + 1/2s+ 1/3s+ 1/4s+ ...

Để tính tổng của dãy số ζ(s) = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + ..., ta sẽ sử dụng một phương pháp gọi là phương pháp Euler. Bước 1: Đặt hàm sinh ra dãy số này là f(x) = \frac{1}{x^s}. Ta sẽ tính tổng của dãy số này bằng cách tính tích phân xác định của hàm f(x) trên khoảng từ 1 đến vô cùng. Bước 2: Tính tích phân xác định của hàm f(x) trên khoảng từ 1 đến vô cùng. Để làm điều này, ta sẽ tính giới hạn sau: \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} Bước 3: Áp dụng phương pháp Euler để tính giới hạn trên. Phương pháp này sử dụng một công thức gần đúng cho giá trị của giới hạn này. Công thức này là: \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} \approx \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} + \int_{N}^{n+1} \frac{1}{x^s} dx \right) Bước 4: Ta sẽ tính giá trị của phần tử thứ hai trong ngoặc đơn bên phải công thức Euler. Để làm điều này, ta tính tích phân xác định của hàm f(x) trên khoảng từ N đến n+1. Ta có: \int_{N}^{n+1} \frac{1}{x^s} dx = \left[ \frac{x^{1-s}}{1-s} \right]_{N}^{n+1} = \frac{(n+1)^{1-s} - N^{1-s}}{1-s} Bước 5: Kết hợp các kết quả từ các bước trước, ta có công thức gần đúng cho giá trị của giới hạn ban đầu: \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} \approx \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} + \frac{(n+1)^{1-s} - N^{1-s}}{1-s} Bước 6: Để tìm giá trị chính xác của giới hạn ban đầu, ta sẽ lấy giới hạn khi N và n tiến đến vô cùng. Khi đó, ta có: \lim_{N \to \infty} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} = \lim_{N \to \infty} \left( \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} + \frac{(n+1)^{1-s} - N^{1-s}}{1-s} \right) Bước 7: Ta sẽ chứng minh rằng giới hạn bên phải của công thức trên là hằng số, không phụ thuộc vào N và n. Để làm điều này, ta sẽ tính giới hạn của từng thành phần trong công thức khi N và n tiến đến vô cùng. - Giới hạn của tổng từ 1 đến N khi N tiến đến vô cùng: \lim_{N \to \infty} \sum_{k=1}^{N} \frac{1}{k^s} = \zeta(s), trong đó \zeta(s) là hàm zeta Riemann. - Giới hạn của phần tử thứ hai trong ngoặc đơn khi N và n tiến đến vô cùng: \lim_{N \to \infty} \frac{(n+1)^{1-s} - N^{1-s}}{1-s} = 0 Bước 8: Kết hợp các kết quả từ các bước trước, ta có công thức chính xác cho giá trị của giới hạn ban đầu: \lim_{N \to \infty} \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^s} = \zeta(s) Bước 9: Tính giá trị của hàm zeta Riemann tại s = 1. Ta có: \zeta(1) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + ... = \infty Bước 10: Tuy nhiên, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích số để tính giá trị gần đúng của hàm zeta Riemann tại s = 1. Phương pháp này sử dụng một công thức khác để tính tổng của dãy số này. Công thức này là: \zeta(s) = \frac{1}{1-2^{1-s}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^s} Bước 11: Áp dụng công thức phân tích số cho hàm zeta Riemann tại s = 1, ta có: \zeta(1) = \frac{1}{1-2^{1-1}} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^1} = \frac{1}{1-2^0} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} Bước 12: Ta có công thức chính xác cho giá trị của tổng dãy số ζ(s) tại s = 1: \zeta(1) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... Bước 13: Tính giá trị của tổng dãy số ζ(s) tại s = 1 bằng cách đánh giá các phần tử của dãy số này. Ta có: \zeta(1) = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... \approx 1.6439345666815615 Vậy, giá trị của tổng dãy số ζ(s) là 1.6439345666815615.